Spațiu vectorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Adunarea vectorilor și multiplicarea cu scalari a acestora: Vectorul v (în albastru) este adunat cu vectorul w (în roșu, în ilustrația de mai sus). Mai jos, w este multiplicat cu scalarul 2 și se obține suma v + 2·w.

Un spațiu vectorial, numit și spațiu liniar, este o structură matematică cu definiția și proprietățile de mai jos. Constituie o noțiune fundamentală în algebra liniară.

Pentru a defini spațiul vectorial se pleacă de obicei de la vectorii geometrici și operațiile care pot fi efectuate asupra lor, cum ar fi adunarea vectorială sau înmulțirea vectorilor cu scalari, ținându-se cont de constrângeri naturale cum ar fi închiderile acestor operații, asociativitatea lor, combinațiile de operații și altele. Toți acești vectori constituie un spațiu vectorial.

Generalizând, vectorii în cauză pot fi și de natură negeometrică. Ei pot fi orice obiecte matematice care satisfac următoarele axiome ale spațiilor vectoriale. De exemplu, polinoamele de grad n cu coeficienți reali formează un spațiu vectorial. Cu acest nivel de abstractizare, spațiile vectoriale sunt foarte utile în multe arii ale matematicii moderne.

Definiție formală[modificare | modificare sursă]

O mulțime V (mulțimea vectorilor), împreună cu

  • o mulțime K (corpul de scalari),
  • o operație notată "+" (adunarea vectorilor)
  • și două operații notate cu "·" (înmulțirea cu scalari a vectorilor și înmultirea scalarilor între ei),

este un spațiu vectorial dacă îndeplinește următoarele condiții:

  1. (V,+) este grup comutativ
  2. (K,+,·) este corp comutativ
  3. înmulțirea cu scalari are urmatoarele proprietăți:
  • oricare ar fi a,b ∈ K și x ∈ V, avem: (a·bx =a·(b·x) (asociativitatea)
  • oricare ar fi x ∈ V,avem 1·x = x, unde 1 este elementul din K neutru la înmulțire.
  • oricare ar fi a ∈ K și x,y ∈ V , avem a·(x + y) = a·x + a·y (distributivitatea 1)
  • oricare ar fi a,b ∈ K și x ∈ V, avem (a + bx = a·x + b·x. (distributivitatea 2)

Mulțimea V este atunci numită spațiu vectorial peste corpul K și se notează KV.

Dacă pe un spațiu vectorial se introduce o „măsură a lungimii” vectorilor, numită normă, rezultă un spațiu vectorial normat. Norma definește o distanță, orice spațiu normat fiind spațiu metric și în consecință spațiu topologic. Dacă spațiul metric indus de normă este complet, spațiul vectorial este numit Spațiu Banach.

Teoreme[modificare | modificare sursă]

1. Fie KV un spațiu vectorial, a ∈ K și x ∈ V. Atunci:

  • ax=0V dacă și numai dacă a=0K.
  • (-a)x = a(-x) = -ax

2. a) Compunerea a două morfisme de spații vectoriale este un morfism de spații vectoriale. b) Inversul unui izomorfism de spații vectoriale este tot un izmorfism între ele.

3. Fie f:V -> W o aplicație liniară.

  • Dacă V' este mai mic sau egal cu V, atunci f(V') este mai mic sau egal cu W
  • Dacă W' este mai mic sau egal cu W, atunci f−1(W') este mai mic sau egal cu V.

Vezi și[modificare | modificare sursă]