Spațiu vectorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Adunarea vectorilor și multiplicarea cu scalari a acestora: Vectorul v (în albastru) este adunat cu vectorul w (în roșu, în ilustrația de mai sus). Mai jos, w este multiplicat cu factorul 2 și se obține suma v + 2·w.

Noțiunea de spațiu vectorial, sau spațiu liniar, este una fundamentală în algebra liniară.

Dacă luăm în considerare vectorii geometrici și operațiile care pot fi efectuate asupra lor, cum ar fi adunarea vectorială, înmulțirea cu scalari, cu unele constrângeri naturale cum ar fi închiderile acestor operații, asociativitatea lor, combinațiile de operații, și așa mai departe, ajungem la descrierea unei structuri matematice pe care o numim spațiu vectorial.

"Vectorii" pot să nu fie chiar vectori geometrici, ci pot fi orice obiect matematic care satisface următoarele axiome ale spațiilor vectoriale. De exemplu, polinoamele de grad n cu coeficienți reali formează un spațiu vectorial. Fiind astfel abstracte, spațiile vectoriale sunt foarte utile în multe arii ale matematicii moderne.

Definiție formală[modificare | modificare sursă]

O mulțime V (mulțimea vectorilor), împreună cu o mulțime K (corpul de scalari), o operație notată "+" (adunarea vectorilor) și cu două operații "·" (înmulțirea cu scalari a vectorilor și înmultirea scalarilor între ei), este spațiu vectorial dacă îndeplinește următoarele condiții:

  1. (V,+) este grup comutativ
  2. (K,+,·) este corp comutativ
  3. înmulțirea cu scalari are urmatoarele proprietăți:
  • oricare ar fi a,b ∈ K și x ∈ V, avem: (a·bx =a·(b·x) (asociativitatea)
  • oricare ar fi x ∈ V,avem 1·x = x, unde 1 este elementul neutru la înmulțire din K.
  • oricare ar fi a ∈ K și x,y ∈ V , avem a·(x + y) = a·x + a·y (distributivitatea 1)
  • oricare ar fi a,b ∈ K și x ∈ V, avem (a + bx = a·x + b·x. (distributivitatea 2)

Se zice spațiu vectorial peste corpul K și se notează KV

Dacă pe un spațiu vectorial se introduce o „măsură a lungimii” vectorilor, numită normă, rezultă un spațiu vectorial normat. Norma definește o distanță, orice spațiu normat fiind spațiu metric și în consecință spațiu topologic. Dacă spațiul metric indus de normă este complet, spațiul vectorial este numit Spațiu Banach.

Teoreme[modificare | modificare sursă]

1. Fie KV un spațiu vectorial, a ∈ K și x ∈ V. Atunci:

  • ax=0V dacă și numai dacă a=0K.
  • (-a)x = a(-x) = -ax

2. a) Compunerea a două morfisme de spații vectoriale este un morfism de spații vectoriale. b) Inversul unui izomorfism de spații vectoriale este tot un izmorfism între ele.

3. Fie f:V -> W o aplicație liniară.

  • Dacă V' mai mic sau egal decât V, atunci f(V') mai mic sau egal decât W
  • Dacă W' mai mic sau egal decât W, atunci f-1(W') mai mic sau egal decât V.

Vezi și[modificare | modificare sursă]