Funcție continuă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct dacă o variație mică a argumentului în jurul punctului dat produce o variație mică a valorii funcției și, mai mult, putem limita oricât de mult variația valorii funcției prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcției,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuități.

Continuitate într-un spațiu metric[modificare | modificare sursă]

Dacă , unde X și Y sunt submulțimi ale unor spații metrice (de exemplu, ), funcția f se numește continuă în punctul dacă pentru orice valoare există un astfel încât , să aibă loc , unde reprezintă distanța din spațiul metric X, iar reprezintă distanța din spațiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare dacă (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există și este egală cu valoarea funcției în acel punct).

Nu putem vorbi de continuitatea unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiție ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiție (adică un punct izolat), orice funcție este continuă.

O funcție se numește discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcția nu este continuă se numește discontinuitate a funcției.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcția are un "salt" (limita funcției sau cel puțin una din limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcției) - o astfel de discontinuitate se numește de primă speță, fie pentru că funcția nu are limită în acel punct -- discontinuitate de speța a doua.

Exemple:

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de prima speță.

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de speța a doua. De notat că această funcție este un exemplu de funcție Darboux care nu este continuă.

Continuitatea funcțiilor reale[modificare | modificare sursă]

Definiția 1. Fief o funcție definită pe și Se spune că funcția f este continuă în punctul dacă pentru orice astfel încât oricare ar fi cu proprietatea se respectă relația:  

Definiția 2 Se spune că funcția este continuă în punctul dacă pentru orice șir convergent către șirul valorilor funcției converge către

Definiția 3. Spunem că funcția f definită pe o vecinătate a punctului este continuă în dacă f are limita în punctul și dacă această limită este egală cu

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.