Corp (matematică)
Se numește corp un triplet în care este o mulțime cu cel puțin două elemente , iar și două operații pe (numite „adunare” respectiv „înmulțire”) satisfăcând trei axiome:
- este grup abelian cu elementul neutru notat cu .
- este grup cu elementul neutru notat cu .
- Înmulțirea este distributivă față de adunare, adică pentru orice :
Grupul se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.
Dacă, în plus,înmulțirea este comutativă (echivalent spus în axioma 2 scriem „grup abelian”), atunci tripletul se numește corp comutativ.
Grupul elementelor inversabile ale unui corp este .
Exemple[modificare | modificare sursă]
Mulțimea , respectiv a numerelor raționale,respectiv reale înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale, respectiv corp numerelor reale.
Inelul al claselor de resturi modulo „p” (p-prim) este corp comutativ.
Definiție[modificare | modificare sursă]
O submulțime a unui corp se numește subcorp al lui , dacă operațiile algebrice definite pe induc pe operații algebrice, împreună cu care este corp.
Dacă este subcorp al lui , atunci se numește extindere a lui și se notează sau .
Propoziție[modificare | modificare sursă]
O submulțime nevidă a unui corp este un subcorp a lui dacă și numai dacă:
Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: .
Exemple de subcorpuri[modificare | modificare sursă]
- Fie un corp. Atunci este un subcorp al lui .
- este o extindere de corpuri.
- împreună cu operațiile de adunare și înmulțire este un subcorp a lui . Avem și sunt extinderi de corpuri.
Bibliografie[modificare | modificare sursă]
- Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.