Corp (matematică)

Acest articol se referă la o structură algebrică. Pentru alte sensuri, vedeți Corp (dezambiguizare).

În algebră, un corp se referă la o mulțime pe care sunt definite niște operații binare numite adunare, scădere, înmulțire și împărțire, cu aceleași proprietății algebrice ca operațiile corespunzătoare pe numerele reale (cu posibila excepție a comutativității înmulțirii; a se vedea mai jos).

Conceptul de corp a fost dezvoltat în secolul al XIX-lea, în trei domenii separate ale matematicii: rezoluția ecuaților polinomiale (cu ce a devenit teoria lui Galois), teoria algebrică a numerelor, și geometria algebrică. A fost un concept unificator, iar corpurile au devenit o structură de bază a matematicii moderne care joacă un rol fundamental în mai multe ramuri ale matematicii.

Definiție

Se numește corp un triplet $(K,+,*)$ în care $K$ este o mulțime cu cel puțin două elemente, iar $+$ și $*$ sunt două operații pe $K$ (numite „adunare”, respectiv „înmulțire”) satisfăcând următoarele trei axiome:

1. $(K,+)$ este grup abelian cu elementul neutru notat cu $0$.
2. $(K\setminus \{0\},*)$ este grup cu elementul neutru notat cu $1$.
3. „Înmulțirea” este distributivă față de „adunare”, adică pentru orice $x,y,z\in K$:

$x*(y+z)=x*y+x*z$

$(y+z)*x=y*x+z*x$

Dacă, în plus, „înmulțirea” este comutativă, atunci tripletul $(K,+,*)$ se numește corp comutativ.

Grupul $(K,+)$ se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul $(K\setminus \{0\},*)$ se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Exemple

Mulțimea $\mathbb {Q}$ (respectiv $\mathbb {R}$) a numerelor raționale (respectiv reale) înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale (respectiv corpul numerelor reale).

Inelul $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ al claselor de resturi modulo p este corp comutativ dacă și numai dacă p este un număr prim. Reciproc, orice corp finit al cărui cardinal p este prim este izomorf cu $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$.

Subcorp

Definiție

O submulțime $F$ a unui corp $K$ se numește subcorp al lui $K$, dacă operațiile algebrice definite pe $K$ induc pe $F$ operații algebrice, împreună cu care $F$ este corp.

Dacă $F$ este subcorp al lui $K$, atunci $K$ se numește extindere a lui $F$ și se notează $F\subseteq K$ sau $K\supseteq F$.

Caracterizare

O submulțime nevidă $F$ a unui corp $K$ este un subcorp a lui $K$ dacă și numai dacă:

1. $x,y\in F\implies x+y\in F$
2. $x,y\in F\implies x*y\in F$
3. $x\in F,x\neq 0\implies x^{-1}\in F$

Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: $\forall x\in F,\exists y\in F\setminus \{0\}:x*y^{-1}=1$.

Exemple de subcorpuri

1. Fie $K$ un corp. Atunci $K$ este un subcorp al lui $K$.
2. $\mathbb {Q}$ este un subcorp al lui $\mathbb {R}$.
3. Fie $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}\;|\;\forall a,b\in \mathbb {Q} \}$, înzestrat cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Avem $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ și $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {R}$.

Bibliografie

• Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309 

Vezi și

• Corp geometric
• Inel (matematică)

Legături externe

• en „Skew-field - Encyclopedia of Mathematics”, Encyclopediaofmath.org, accesat în 17 martie 2023