Corp (matematică)

Definiție

Se numește corp un triplet $(K, +, *)$ în care $K$ este o mulțime cu cel puțin două elemente , iar $+$ și $*$ două operații pe $K$ (numite „adunare” respectiv „înmulțire”) satisfăcând trei axiome:

1. $( K , + )$ este grup abelian cu elementul neutru notat cu $0$.
2. $( K\setminus\{0\}, * )$ este grup cu elementul neutru notat cu $1$.
3. Înmulțirea este distributivă față de adunare, adică pentru orice $x,y,z\in K$:

$x*(y+z) = x*y + x*z$

$(y+z)*x = y*x + z*x$

Grupul $( K , + )$ se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul $( K\setminus\{0\}, * )$ se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Dacă, în plus,înmulțirea este comutativă (echivalent spus în axioma 2 scriem „grup abelian”), atunci tripletul $(K, +, *)$ se numește corp comutativ.

Grupul elementelor inversabile ale unui corp $K$ este $U(K)=K\setminus\{0\}$.

Exemple

Mulțimea $\mathbb{Q}$, respectiv $\mathbb{R}$ a numerelor raționale,respectiv reale înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale, respectiv corp numerelor reale.

Inelul $\mathbb{Z}_p$ al claselor de resturi modulo „p” (p-prim) este corp comutativ.

Definiție

O submulțime $F$ a unui corp $K$ se numește subcorp al lui $K$, dacă operațiile algebrice definite pe $K$ induc pe $F$ operații algebrice, împreună cu care $F$ este corp.

Dacă $F$ este subcorp al lui $K$, atunci $K$ se numește extindere a lui $F$ și scriem $F\subseteq K$ sau $K\supseteq F$.

Propoziție

O submulțime nevidă $F$ a unui corp $K$ este un subcorp a lui $K$ dacă și numai dacă:

1. $\forall x,y\in F \Longrightarrow x-y\in F$
2. $\forall x\in F, x\ne 0 \Longrightarrow x^{-1}\in F$

Condițiile 1 și 2 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: $\forall x,y\in F, y\ne 0 \Longrightarrow x*y^{-1}=1$.

Exemple de subcorpuri

1. Fie $K$ un corp. Atunci $K$ este un subcorp al lui $K$.
2. $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ este o extindere de corpuri.
3. $\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|\ \forall a,b\in \mathbb{Q}\}$ împreună cu operațiile de adunare și înmulțire este un subcorp a lui $\mathbb{R}$. Avem $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ și $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset\mathbb{R}$ sunt extinderi de corpuri.

Bibliografie

Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.

Vezi și

• Corp
• Corp geometric