Corp (matematică)

Acest articol se referă la o structură algebrică. Pentru alte sensuri, vedeți Corp (dezambiguizare).

Se numește corp un triplet $(K,+,*)$ $(K,+,*)$ în care $K$ $K$ este o mulțime cu cel puțin două elemente , iar $+$ $+$ și $*$ $*$ două operații pe $K$ $K$ (numite „adunare” respectiv „înmulțire”) satisfăcând trei axiome:

$(K,+)$ $(K,+)$ este grup abelian cu elementul neutru notat cu $0$ $0$ .
$(K\setminus \{0\},*)$ $(K\setminus \{0\},*)$ este grup cu elementul neutru notat cu $1$ $1$ .
Înmulțirea este distributivă față de adunare, adică pentru orice $x,y,z\in K$ $x,y,z\in K$ :

x*(y+z)=x*y+x*z

(y+z)*x=y*x+z*x

Grupul $(K,+)$ $(K,+)$ se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul $(K\setminus \{0\},*)$ $(K\setminus \{0\},*)$ se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Dacă, în plus,înmulțirea este comutativă (echivalent spus în axioma 2 scriem „grup abelian”), atunci tripletul $(K,+,*)$ $(K,+,*)$ se numește corp comutativ.

Grupul elementelor inversabile ale unui corp $K$ $K$ este $U(K)=K\setminus \{0\}$ $U(K)=K\setminus \{0\}$ .

Exemple[modificare | modificare sursă]

Mulțimea $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ , respectiv $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ a numerelor raționale,respectiv reale înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale, respectiv corp numerelor reale.

Inelul $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ al claselor de resturi modulo „p” (p-prim) este corp comutativ.

Definiție[modificare | modificare sursă]

O submulțime $F$ $F$ a unui corp $K$ $K$ se numește subcorp al lui $K$ $K$ , dacă operațiile algebrice definite pe $K$ $K$ induc pe $F$ $F$ operații algebrice, împreună cu care $F$ $F$ este corp.

Dacă $F$ $F$ este subcorp al lui $K$ $K$ , atunci $K$ $K$ se numește extindere a lui $F$ $F$ și se notează $F\subseteq K$ $F\subseteq K$ sau $K\supseteq F$ $K\supseteq F$ .

Propoziție[modificare | modificare sursă]

O submulțime nevidă $F$ $F$ a unui corp $K$ $K$ este un subcorp a lui $K$ $K$ dacă și numai dacă:

$\forall x,y\in F\Longrightarrow x-y\in F$ $\forall x,y\in F\Longrightarrow x-y\in F$
$\forall x,y\in F\Longrightarrow x*y\in F$ $\forall x,y\in F\Longrightarrow x*y\in F$
$\forall x\in F,x\neq 0\Longrightarrow x^{-1}\in F$ $\forall x\in F,x\neq 0\Longrightarrow x^{-1}\in F$

Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: $\forall x,y\in F,y\neq 0\Longrightarrow x*y^{-1}=1$ $\forall x,y\in F,y\neq 0\Longrightarrow x*y^{-1}=1$ .

Exemple de subcorpuri[modificare | modificare sursă]

Fie $K$ $K$ un corp. Atunci $K$ $K$ este un subcorp al lui $K$ $K$ .
$\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$ $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$ este o extindere de corpuri.
$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}|\ \forall a,b\in \mathbb {Q} \}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}|\ \forall a,b\in \mathbb {Q} \}$ împreună cu operațiile de adunare și înmulțire este un subcorp a lui $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ . Avem $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ și $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {R}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {R}$ sunt extinderi de corpuri.