Ecuație cu derivate parțiale

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un prim exemplu[modificare | modificare sursă]

Un exemplu celebru îl constituie ecuația lui Laplace:

Căutăm soluțiile acestei ecuații sub forma unor polinoame omogene în , și .

- polinomul omogen de gradul 0: (unde este o constantă arbitrară) este, în mod evident, singurul polinomul omogen de gradul 0 care verifică ecuația Laplace

- polinomul omogen de gradul 1: . Polinomul omogen de gradul 1 verifică ecuația lui Laplace pentru oricare valori ale coeficienților constanți , și . Așadar există trei soluții liniar independente ale ecuației lui Laplace, și anume , și . Acestea, alături de combinațiile lor liniare cu coeficienți constanți, furnizează soluția generală a ecuației lui Laplace sub forma unui polinom omogen de gradul 1.

- polinomul omogen de gradul 2:

Calculăm succesiv:

Sumând cele trei expresii și egalând cu 0, conform ecuației lui Laplace, obținem , adică . Punând, de exemplu, , obținem, după o rearanjare a termenilor,forma generală a polinoamelor omogene de gradul 2 care verifică ecuația lui Laplace:

De aici obținem 5 soluții liniar independente ale ecuației lui Laplace în cazul polinomului omogen de gradul 2.

- polinomul omogen de gradul 3:

Calculăm succesiv:

Sumând cele trei expresii și egalând cu 0, conform ecuației Laplace, obținem

,

adică

Împărțind prin 2, obținem

Egalând cu 0 coeficienții lui , și , obținem trei ecuații pentru coeficienți.

=>

=>

=>

De aici obținem 7 soluții liniar independente ale ecuației Laplace în cazul polinomului omogen de gradul 3.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Jost, J. (2002), Partial Differential Equations, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-95428-7 .
  • A. N. Tihonov, A. A. Samarski Ecuațiile fizicii matematice (traducere din limba rusă), Editura Tehnică, 1956