Distributivitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Vizualizare a distributivității la numere pozitive

În matematică, proprietatea de distributivitate a operațiilor binare este o generalizare a distributivității din algebra elementară, care afirmă că întotdeauna

De exemplu,

Se spune că înmulțirea este distributivă față de adunare.

Această proprietate de bază a numerelor este subînțeleasă în definirea majorității structurilor algebrice care au două operații numite adunare și înmulțire, cum ar fi numerele complexe, polinoamele, matricile, inelele și corpurile. Se întâlnește și în algebra booleană și logica matematică, unde fiecare dintre și logic (notat ) și sau logic (notat ) sunt distributive față de celălalt.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie o mulțime S și două operații binare, ∗ și +, pe S. Operația ∗:

este distributivă la stânga pe + dacă, fiind date elementele x, y și z din S,

este distributivă la dreapta pe + dacă, fiind date elementele x, y și z din S,

și

este distributivă pe + dacă este distributivă la stânga și la dreapta.[1]

Dacă ∗ este comutativă, cele trei condiții anterioare sunt logic echivalente.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Numere reale[modificare | modificare sursă]

În exemplele următoare, este ilustrată distributivitatea pe mulțimea numerelor reale În matematica elementară înmulțirea este distributivă. În algebră, numerele reale formează un corp, ceea ce asigură validitatea distributivității.

Primul exemplu

În timpul socotirii „în cap” distributivitatea se aplică adesea inconștient:

Pentru a socoti de obicei se fac operațiile și și apoi se adună aceste rezultate parțiale. La fel se judecă și la socotelile „pe hârtie”.

Al doilea exemplu

Fie a, b, c, d o serie de variabile. Operațiile sunt:

Al treilea exemplu

În cazul sumelor distributivitatea se aplică indiferent cărei paranteze, rezultatul este același:

Al patrulea exemplu

Aici distributivitatea se aplică invers în comparație cu exemplele anterioare. Fie:

Deoarece factorul apare în toți termenii, datorită distributivității poate fi dat factor comun. Se obține:

Matrici[modificare | modificare sursă]

Distributivitatea este valabilă la înmulțirea matricilor. Mai exact,

pentru orice matrici și , la fel și

pentru orice matrici și Deoarece comutativitatea nu este valabilă la înmulțirea matricilor, cele două relații sunt diferite, neechivalente.

În logica propozițională[modificare | modificare sursă]

Reguli de substituție[modificare | modificare sursă]

În logica propozițională standard, în demonstrațiile logice distributivitatea[2][3] are două reguli de substituție pentru a ddezvolta expresiile anumitor conectivități logice din cadrul unor formule în aplicații separate ale acelor conectivități între subformule ale formulei date. Regulile sunt:

și

unde "" (sau ) este un simbol cu sensul „poate fi înlocuit cu” sau „este logic echivalent cu”.

Conectivități funcționale[modificare | modificare sursă]

O serie de conectivități funcționale sunt distributive, fiind considerate tautologii.

Distributivitatea conjuncției pe conjuncție
Distributivitatea conjuncției pe disjuncție
Distributivitatea disjuncției pe conjuncție
Distributivitatea disjuncției pe disjuncție
Distributivitatea implicației
Distributivitatea implicației pe echivalență
Distributivitatea implicației pe conjuncție
Distributivitatea disjuncției pe echivalență
Dubla distributivitate

Distributivitate și rotunjire[modificare | modificare sursă]

În aritmetica aproximativă, cum ar fi aritmetica în virgulă mobilă, distributivitatea înmulțirii (și împărțirii) asupra adunării poate eșua din cauza numărului limitat de cifre cu care se fac operațiile. Dar există și cazuri, cum ar fi identitatea care dă un rezultat greșit indiferent de numărul de cifre folosit. Metodele de rotunjire ajută în unele cazuri, la fel și creșterea numărului de cifre semnificative, dar unele erori de calcul sunt inevitabile.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Distributivity of Binary Operations from Mathonline
  2. ^ en Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company
  3. ^ en Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press

Legături externe[modificare | modificare sursă]