Sistem de ecuații liniare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un sistem de ecuații liniare este un sistem de ecuații de forma: \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ ...\\a_{m1}x_1+a_{m2}y_2+...+a_{mn}y_n=b_m\end{cases} unde a_{ij}, b_i coeficienți, cu 1 \leq i \leq m, și 1 \leq j \leq n; m,n \in \mathbb{Z_+}. Coeficienții sistemului pot fi limitați la a fi numere întregi, raționale, reale sau complexe. La modul general, un sistem de ecuații liniare se rezolvă într-un corp.

Un astfel de sistem poate avea o infinitate de soluții, o singură soluție sau niciuna, în funcție de coeficienții ecuațiilor, numărul lor, numărul necunoscutelor sau mulțimea în care se caută soluția.

Sisteme cu două necunoscute[modificare | modificare sursă]

Forma generală a unui sistem de două ecuații cu două necunoscute este: \begin{cases} ax+by=c\\ mx+ny=p\end{cases} unde a, b, c, m, n, p \in  \mathbb{R}. Rezolvarea unui astfel de sistem se poate face, la nivel gimnazial, prin două metode: cea a substituției sau cea a reducerii.

Metoda substituției[modificare | modificare sursă]

Această metodă constă în scoaterea din una din ecuații a unei necunoscute în funcție de cealaltă, introducerea acesteia în cea de-a doua ecuație a sistemului obținând astfel o ecuație de gradul întâi cu o singura necunoscută care, prin rezolvare, ne dă valoarea acestei necunoscute. Cu valoarea aflată se revine la prima ecuație și se determină cea de-a doua necunoscută.

Exemplu

Să se rezolve prin metoda substituției sistemul: \begin{cases} x-5y=3\\ 2x+y=-5\end{cases}

Rezolvare

\begin{cases} x-5y=3\\ 2x+y=-5\end{cases}\iff\begin{cases} x=3+5y\\ 2x+y=-5\end{cases}\iff\begin{cases} x=3+5y\\ 2(3+5y)+y=-5\end{cases}\iff\begin{cases} x=3+5y\\ 11y=-11\end{cases}\iff\begin{cases} x=3+5y\\ y=-1\end{cases}

\iff\begin{cases} x=3+5(-1)\\ y=-1\end{cases}\iff\begin{cases} x=-2\\ y=-1\end{cases}

Așadar, soluția sistemului este data de perechea (-2,-1)

Metoda reducerii[modificare | modificare sursă]

Această metodă constă în înmulțirea termenilor ecuațiilor astfel încât prin adunarea sau scăderea egalităților obținute să se anuleze termenii ce conțin una dintre necunoscute. Se rezolvă apoi ecuația cu o singură necunoscută astfel obținută. Se înlocuiește valoarea necunoscutei aflate într-una dintre ecuațiile sistemului, se rezolvă ecuația, iar perechea obținută este soluția sistemului.

Observație: Dacă prin această metoda se anulează toți termenii ce conțin necunoscutele și termenii liberi, sistemul nu are soluție unică. Dacă se anulează toți termenii ce conțin necunoscutele și termenii liberi nu se anulează, sistemul nu are soluții.

Exemplu

Să se rezolve prin metoda reducerii sistemul: \begin{cases} x-5y=3\\ 2x+y=-5\end{cases}

Rezolvare

Prin înmulțirea celei de-a doua ecuații cu 5 se obține:

\begin{cases} x-5y=3\\ 10x+5y=-25\end{cases}

Adunând cele două ecuații se obține sistemul:

\begin{cases} 11x=-22\\ x-5y=3\end{cases}\iff\begin{cases} x=-2\\ -2-5y=3\end{cases}\iff\begin{cases} x=-2\\ y=-1\end{cases}