Serie (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, o serie este un șir infinit între elementele căruia s-a scris semnul operației de adunare:

S=\sum\limits_{k=1}^\infty x_k=x_1+x_2+x_3+\ldots

Elementele seriei pot fi numere reale, numere complexe, vectori, funcții având ca valori numere reale, complexe sau vectori, etc. Este necesar ca pentru mulțimea din care se iau elementele seriei să fie definite operația de adunare și noțiunea de convergență.

Fără alte condiții, o astfel de serie se mai numește serie formală, deoarece (încă) nu se execută adunarea termenilor. Pentru a defini suma (valoarea) seriei, se definesc mai întâi sumele parțiale ca fiind sumele unor numere finite de elemente de la începutul șirului:

S_N=\sum\limits_{k=1}^N x_k=x_1+x_2+\ldots+x_N

Se spune că seria este convergentă dacă șirul sumelor parțiale S_1,S_2,\ldots este convergent. Pentru o serie convergentă, se definește suma seriei ca fiind limita șirului sumelor parțiale:

S=\lim\limits_{N\to\infty} S_N

Exemple[modificare | modificare sursă]

Probabil cea mai simplă serie infinită convergentă este:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots

Se poate "vizualiza" convergența ei pe axa numerelor reale: ne putem imagina o linie de lungime 2, pe care se marchează succesiv segmente cu lungimile 1, ½, ¼, etc. Întotdeauna se va putea marca următorul segment, deoarece dimensiunea liniei rămasă nemarcată va fi întotdeauna aceeași cu cea a ultimului segment marcat: când a fost marcat segmentul ½, a mai rămas o bucată nemarcată de lungime ½, deci putem să marcăm următorul segment de ¼. Acest argument nu demonstrează că suma este egală cu 2 (deși este), ci demonstrează că este cel mult 2 — in alte cuvinte, seria are o limită superioară.

Această serie este o serie geometrică iar matematicienii de obicei o scriu astfel:

\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}=2.

unde termenii an sunt numere reale (sau complexe). Spunem că seria converge la S, sau că suma ei este S, dacă limita

\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^N a_n

există și este egală cu S. Dacă nu există un astfel de număr atunci se spune că seria este divergentă.

Câteva tipuri de serii infinite[modificare | modificare sursă]

  • O serie geometrică este o serie în care fiecare termen succesiv este obținut prin înmulțirea termenului anterior printr-o constantă (numită rație). De exemplu:
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.
În general, seria geometrică
\sum_{n=0}^\infty z^n
converge dacă și numai dacă |z| < 1.
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.
  • Seria
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}
converge dacă r > 1 și este divergentă dacă r ≤ 1, acest lucru poate fi arătăt cu ajutorul criteriului integral.
  • O serie alternată este o serie în care termenii alternează semnele. Exemplu:
1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.
  • O serie telescopică
\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})
converge dacă șirul bn converge la o limită L când n tinde la infinit. Suma seriei este atunci b1L.

Absolut convergența[modificare | modificare sursă]

Articol principal: Absolut convergența.

Se spune că o serie de numere reale sau complexe sau de vectori într-un spațiu Banach

\sum_{n=0}^\infty a_n

converge absolut sau că este absolut convergentă dacă seria valorilor absolute ale termenilor, sau respectiv seria normelor lor,

\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|

este convergentă.

O serie absolut convergentă este întotdeauna convergentă. Mai mult, prin permutarea termenilor unei serii absolut convergente, rezultă întotdeauna o serie convergentă a cărei sumă este egală cu suma seriei originale.

O serie convergentă care nu este absolut convergentă se numește semiconvergentă. Pentru o serie semiconvergentă de numere reale, se poate, prin permutarea adecvată a termenilor, să se obțină o serie ce converge la orice valoare se dorește; de asemenea, prin permutarea termenilor unei serii semiconvergente se poate obține o serie divergentă.

Criterii de convergență[modificare | modificare sursă]

Articol principal: Criterii de convergență.

Criteriile de comparație se folosesc pentru determinarea naturii unei serii (convergentă sau divergentă), cunoscând natura unei alte serii și testând anumite relații între termenii celor două serii.