Geometrie analitică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Geometria analitică (sau geometria carteziană) reprezintă o modalitate de abordare a geometriei cu ajutorul algebrei. Figurile geometrice sunt definite cu ajutorul ecuațiilor sau inecuațiilor, iar rezolvarea problemelor se face pur algebric. Pentru aceasta, planul și spațiul trebuie să fie dotate cu sisteme de coordonate carteziene.

Axa numerelor reale.

Geometrie analitică este o ramură a matematicii, a cărui obiect este studiul elementelor geometrice, dar utilizând calculul algebric. Apariția ei are loc în sec. XVII, sub impulsul cercetărilor lui Johannes Kepler în astronomie și ale lui Galileo Galilei în mecanică, aceștia descoperind curbele de gradul doi (elipsa în primul caz și parabola, în cel de al doilea). Aceste figuri geometrice nu mai prezentau doar un inters ca și curbe în sine, ci și ca traiectorii ale mișcării corpurilor, atât planete cât și ghiulele de tun. Scopul geometriei analitice este de a asocia fiecărei figuri geometrice o ecuație algebrică. În cazul curbelor din plan această ecuație are două necunoscute, iar în cazul suprafețelor din spațiu, ecuația asociată este cu trei necunoscute.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Matematicianului antic grec Menaechmus (Menechmus) (380 î.Hr. - 320 î.Hr.) i se atribuie (de către Platon) descoperirea secțiunilor conice parabola și hiperbola cu ajutorul cărora a rezolvat problema duplicării cubului.[1] Apollonius din Perga[2] (262 î.Hr. - 190 î.Hr.), în lucrarea sa, De sectione determinata (Διωρις μενη τομη), rezolvă probleme în modalitatea care astăzi ar fi numită geometrie analitică unidimensională. În scrierea Conicele, Apollonius dezvoltă metoda analitică, anticipând astfel scrierile lui René Descartes (1596 - 1650) la o distanță de 18 secole![3] Matematicianul persan Omar Khayyám (1048 - 1131) a rezolvat ecuația cubică folosind intersecția dintre parabolă și cerc.[4]

Pasul decisiv a fost realizat de către Descartes, de numele căruia este legată descoperirea și introducerea geometriei analitice.[5] Celebra sa lucrare Discurs despre metodă, conține un capitol intitulat chiar Geometrie.

Geometrie analitică plană[modificare | modificare sursă]

În cele ce urmează, considerăm planul înzestrat cu un reper  (O, \vec i, \vec j) , iar x și y sunt coordonatele punctului (abscisa și ordonata).

Punctul[modificare | modificare sursă]

Punctul poate fi reprezentat printr-un sistem de două ecuații de gradul întâi cu două necunoscute:

 \begin{cases} x=a \\ y=b \end{cases}

Dreapta[modificare | modificare sursă]

Dreapta poate fi reprezentată printr-o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute:

 ax + by + c = 0 \, .

Formule[modificare | modificare sursă]

  • Distanța dintre punctele  P_1(x_1,y_1) \, și  P_2(x_2, y_2) \,:


 d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}


  • Mijlocul segmentului  \overline{P_1P_2} este dat de:
 M \; \begin{cases} x=\frac {x_1+x_2}{2} \\ y=\frac{y_1+y_2}{2} \end{cases}


  • Centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile  P_1 (x_1, y_1), \; P_2 (x_2, y_2), \; P_3(x_3, y_3) \, :


G    \begin{cases} x= \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\ y= \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \end{cases}


  • Suprafața triunghiului  P_1P_2P_3 \,  :


 S= \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3  \end{vmatrix}

Geometrie analitică în spațiu[modificare | modificare sursă]

Punctul[modificare | modificare sursă]

Punctul este reprezentat prin sistemul:

 \begin{cases} x=a \\ y=b \\ z=c \end{cases}

Planul[modificare | modificare sursă]

Planul poate fi reprezentat printr-o ecuație de forma:

 ax+by+cz+d=0 \,

Dreapta[modificare | modificare sursă]

Dreapta în spațiu poate fi considerată ca intersecția a două plane:

 \begin{cases} {a_1}x+{b_1}y+{c_1}z=0 \\ {a_2}x+{b_2}y+{c_2}z=0 \end{cases}


Formule[modificare | modificare sursă]

  • Distanța dintre două puncte  P_1 (x_1, y_1, z_1), \; P_2 (x_2, y_2, z_2):


 d= \sqrt {(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}
  • Mijlocul segmentului  \overline{{P_1}{P_2}}  :
 M \; \begin{cases} x=\frac {x_1+x_2}{2} \\ y= \frac{y_1+y_2}{2} \\ z= \frac{z_1+z_2}{2} \end{cases}
  • Centrul de greutate al triunghiului  P_1P_2P_3 \, are coordonatele:
G    \begin{cases} x= \frac{x_+x_2+x_3}{3} \\ y= \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \\ z= \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \end{cases}

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Cooke, Roger - The History of Mathematics, John Wilet & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.
  2. ^ Acestui matematician grec i se atribuie folosirea, pentru prima dată, a denumirilor elipsă, hiperbolă, parabolă.
  3. ^ Boyer, Carl B. - "Apollonius of Perga", A History of Mathematics, John Wilwy & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.
  4. ^ Glen M. Cooper - Omar Khayyám, the mathematician, The Journal of the American Oriental Society 123, 2003.
  5. ^ Stillwell John - "Analytic Geometry", Mathematics and its History, Springer Science + Business Media Inc., 2004. ISBN 0-387-95336-1.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Creangă, I. - Curs de geometrie analitică, Editura Tehnică București, 1951
  • Mihăileanu, N.- Geometrie analitică, proiectivă și diferențială, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]