Sari la conținut

Produs scalar

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Această pagină se referă la produsul scalar canonic din . Pentru noțiunea generală de produs scalar în spații vectoriale arbitrare, vedeți Spațiu prehilbertian.
Interpretarea geometrică a produsului scalar

În matematică, produsul scalar este o operație algebrică care ia doi vectori și returnează un număr real. Produsul scalar între x și y este notat cu cu un punct median. Numele subliniază faptul că rezultatul operații este un scalar, adică un număr, chiar dacă argumentele x și y sunt vectori.

Produsul scalar este o noțiune fundamentală în matematică, cu legături adânci cu noțiunile de lungime (mai precis, de normă) și de unghi. De fapt, în matematica modernă, noțiunea de spațiu euclidian este bazată pe noțiunea de produs scalar. Produsul scalar are și un rol central în fizică, spre exemplu cu conceptul de lucru mecanic al unei forțe, sau cu noțiunea de flux printr-o suprafață.

Noțiunea se datorează lui William Rowan Hamilton și Hermann Grassmann [1].

Definiții[modificare | modificare sursă]

Istoric, produsul scalar a fost definit în contextul geometriei euclidiene din dimensiunile 2 și 3, cu o definiție bazată pe noțiunile intuitive de lungime a unui vector și de unghiul dintre doi vectori. Această definiție este echivalentă cu o definiție bazată pe coordonatele carteziene ale vectorilor.

Deoarece definiția bazată pe coordinatele carteziene este mai ușor de generalizat în dimensiuni , în matematica modernă noțiunea de unghi se definește prin noțiunea de produs scalar, și nu invers.

Definiție geometrică[modificare | modificare sursă]

Fie x și y doi vectori din spațiul euclidian cu lungimile respective și date de

și

Atunci produsul scalar între x și y este

unde este cosinusul unghiului între vectorii x și y (în radiani).

Definiție prin coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Fie x și y doi vectori din spațiul euclidian cu coordonatele carteziene și . Atunci produsul scalar dintre x și y este

Dată fiind această definiție, lungimea vectorului x se definește ca

iar unghiul (neorientat) între x și y ca

unde este inversa funcției cosinus pe , adică unica funcție care satisface relația

pentru orice .

Exemple de calcul[modificare | modificare sursă]

În planul , fie O originea, adică punctul cu coordonatele carteziene (0, 0), A punctul cu coordonatele carteziene (a, 0) și B cu coordonatele (0, b). Fie x și y vectorii și adică

și

Prin interpretarea geometrică, este clar că x are lungimea și y lungimea . Unghiul între x și y este de 90° — adică în radiani. Așadar, produsul scalar este

ilustrând faptul că produsul scalar al unor vectori ortogonali este întotdeauna 0. Acest produs scalar se poate calcula și prin formula

Similar, unghiul între x și el însuși este 0, deci

ilustrând faptul că Cu formula cu coordonatele carteziene,

Fie acum C și D punctele cu coordonatele polare și respectiv și Unghiul (neorientat) între u și v este și există

pentru că . Acest rezultat se poate regăsi cu formula cu coordonatele carteziene: coordonatele carteziene ale u și v sunt

și

Așadar,

Folosind identitatea trigonometrică , se obține din nou

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Produsul scalar are următoarele proprietăți elementare:

  • Este biliniar, adică pentru orice vectori și orice
  • Este simetric, adică pentru orice vectori
  • Este pozitiv-definit, adică pentru orice vector

O altă proprietate importantă a produsului scalar este Inegalitatea Cauchy-Schwarz:

Această identitate este trivială în cadrul unui spațiu ca sau în care produsul scalar canonic poate fi definit prin Însă, rămâne adevărată și în cadrul unui produs scalar abstract (a se vedea mai jos), iar de asta își merită numele.

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Articol principal: Spațiu prehilbertian

În matematica avansată, noțiunea de produs scalar poate fi generalizată la spații vectoriale abstracte. În acest context, produsul scalar se notează de obicei „” și este uneori numit produs interior[2], bazat pe noțiunea din engleză inner product.

În acest cadru, un produs scalar poate fi orice formă biliniară simetrică pozitiv-definită. Un spațiu vectorial înzestrat cu un produs scalar se numește spațiu prehilbertian (numele prehilbertian se referă la faptul că dacă pentru distanța indusă de produsul scalar spațiul este și complet, atunci este un spațiu Hilbert.

Un exemplu important de spațiu prehilbertian (și Hilbert) este spațiul L2 al funcțiilor 2-integrabile pe un spațiu măsurabil . Produsul scalar asociat este

unde este conjugata complexă a lui

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Nicolae N. Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, p. 335
  2. ^ Brândușa Răileanu, Dicționar român–englez de termeni matematici și tehnici, București: Ed. MTTLC, 2016, ISBN: 978-606-760-040-7

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]

  • Materiale media legate de produs scalar la Wikimedia Commons
  • en Hazewinkel, Michiel, ed. (), „Inner product”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
  • en Eric W. Weisstein, Dot product la MathWorld.
  • en Explanation of dot product including with complex vectors
  • en "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.