Algebră Grassmann

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Algebra Grassmann sau algebră exterioară (a unui spațiu vectorial real finit-dimensional ) este o -algebră asociativă cu element 1, notată , cu proprietățile:

  • este un subspațiu vectorial al lui și pentru orice unde prin se notează înmulțirea în ;
  • algebra este generată de elementul unitate împreună cu elementele lui  ;
  • este un spațiu vectorial de dimensiune unde este dimensiunea lui .

Nmele provine de la matematicianul Hermann Grassmann care, în 1846, a introdus așa-numitele mărimi extensive, precursoare ale multivectorilor de mai târziu.

Construcția unei algebre Grassmann[modificare | modificare sursă]

Pentru a construi o astfel de algebră, se consideră spațiul vectorial , care este dualul spațiului vectorial adică spațiul tuturor funcționalelor (formelor) liniare pe

Definiție. Dacă sunt spații vectoriale, o aplicație se numește aplicație -liniară (sau aplicație multiliniară de grad ) dacă, pentru orice și orice sistem de vectori , aplicație parțială

este liniară.

Definiție. O aplicație multiliniară de grad se numește aplicație biliniară.

Definiție. Se numește p-tensor covariant (sau tensor covariant de grad p sau funcțională multiliniară de grad p sau formă p-liniară) pe orice aplicație p-liniară

Mulțimea tuturor p-tensorilor covarianți pe spațiul vectorial are o structură evidentă de spațiui vectorial; acest spațiu vectorial se notează prin și se numește a p-a putere tensorială a lui

Există relația și se pune, prin definiție, adică un tensor covariant de grad zero pe este un număr real. În fine, se pune:

(suma directă de spații vectoriale).

Definiție. Dacă , produsul tensorial a doi tensori covarianți și este tensorul covariant definit prin:

pentru

Când și se pune în mod similar se tratează cazul Produsul tensorial este o operație biliniară și asociativă, dar necomutativă în grade Această operație se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial care face din acest spațiu vectorial o algebră, numită algebră tensorială a lui Pentru orice grupul al permutărilor mulțimii acționează la stânga pe spațiul vectorial prin aplicația definită prin:

pentru orice uplu de vectori Un tensor covariant pe spațiul vectorial se numește alternant (sau exterior) dacă pentru orice unde este semnul permutării adică când este pară și când este impară.

Mulțimea tuturor tensorilor covarianți alternanți pe este un subspațiu vectorial al lui , care se notează prin și se numește puterea exterioară de grad al lui . Există relația: și se pune, prin definiție, În fine, se pune:

(sumă directă de spații vectoriale).

Definiție. Pentru orice număr natural se definește o aplicație liniară , numită aplicația de alternare, definită prin:

Această aplicație posedă proprietățile:

  1. Pentru orice rezultă
  2. Dacă atunci
  3. pentru și
  4. pentru și

Definiție. Dacă produsul exterior a doi tensori alternați și este tensorul alternat definit prin:

Când și se pune în mod similar se tratează cazul Produsul exterior este o operație biliniară, asociativă și, în plus, anticomutativă, adică dacă este de grad și de grad în particular, când este de grad impar. Se observă că dacă sunt tensori alternați pe de grade respectiv, atunci:

Produsul exterior se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial și face din acest spațiu vectorial o -algebră, numită algebra Grassmann a lui

Teoreme[modificare | modificare sursă]

Teorema bazei. Dacă este un reper al lui , atunci produsele exterioare de forma cu formează un reper în spațiul vectorial ; în particular acest spațiu vectorial are dimensiunea când și când , deci spațiul vectorial este de dimensiune

Dacă este un alt spațiu vectorial de dimensiune finită, se asociază fiecărei aplicații liniare un morfism de algebre definit, pentru orice , prin , unde (de p ori), când și când ; tensorul alternant are același grad cu și se numește imaginea inversă a lui f prin aplicația liniară Aplicațiile și definesc un vector contravariant de la spații vectoriale de dimensiune finită la algebre.

Teorema determinantului'. Dacă este un endomorfism al lui atunci pentru orice n-tensor alternant f pe unde n este dimensiunea lui , există relația:

Având în vedere că determinantul al unui endomorfism al lui se definește folosind un reper al lui care identifică cu (definiție care nu depinde de alegerea acestui reper), se poate realiza o construcție a algebrei exterioare a lui astfel:

Fie dualul lui ; aplicația , definită prin pentru , este un izomorfism de spații vectoriale. Acest izomorfism se utilizează pentru a identifica spațiile vectoriale și .

Vom defini deci algebra exterioară a lui punând pentru orice și deci . Aplicația canonică definită prin este p-liniară alternantă, adică:

pentru orice și , iar aplicația definită prin , este un izomorfism de spații vectoriale. Astfel spațiul vectorial cu canonic izomorf cu dualul spațiului vectorial

Există construcții mai generale care permit definirea algebrei tensoriale și a algebrei exterioare pentru orice modul unde este un inel comutativ cu element unitate, în rest arbitrar.

Se pot construi puterea exterioară și algebra exterioară pentru un spațiu vectorial complex finit dimensional după modelul prezentat anterior în cazul real.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Romulus Cristescu, Dicționar de analiză matematică, Editura Științifică și Enciclopedică, 1989