Matrice

Pentru alte sensuri, vedeți Matrice (dezambiguizare).

În matematică, o matrice (plural matrice sau matrici) este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci matrici n-dimensionale. Dacă m = n, matricea este pătrată.

Definiție

Se numește matrice cu m linii și n coloane (de tip $m\times n\!$) un tablou cu m linii și n coloane:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\!$

ale cărui elemente $a_{ij}\!$ sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează cu indici, $A=\left(a_{ij}\right),$ unde $i={\overline {1,m}}$ și $j={\overline {1,n}}.$

Pentru elementul $a_{ij}$ indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricilor de tip $m\times n\!$ cu elemente numere reale se notează prin $M_{m,n}(\mathbb {R} ).$ Aceleași semnificații au și mulțimile $M_{m,n}(\mathbb {Z} ),M_{m,n}(\mathbb {Q} ),M_{m,n}(\mathbb {C} ).$

Cazuri particulare

1. O matrice de tipul $1\times n\!$ (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:

$A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}$

2. O matrice de tipul $m\times 1\!$ (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:

$B={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\cdots \\a_{m}\end{pmatrix}}$

3. O matrice de tip $m\times n\!$ se numește nulă (sau matrice zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

$O={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Sistemul de elemente $(a_{11}\;a_{22}\;\cdots \;a_{nn})\!$ reprezintă diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată:

$Tr(A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}.$

Mulțimea matricelor pătrate se notează $M_{n}(\mathbb {C} ).\!$ Printre aceste matrice, una este foarte importantă, aceasta fiind:

$I_{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}$

și se numește matrice unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea a două matrice

Fie $A=(a_{i,j})$, $B=(b_{i,j})\in M_{m,n}(C)$. Se spune că matricele $A,B$ sunt egale și se scrie $A=B$ dacă $a_{i,j}=b_{i,j},\forall i,j={\overline {1,n}}$

Transpusa unei matrice

Fie $A=(a_{i,j})\in M_{n,n}(C)$. Transpusa matricei A este:

$A^{T}=B=(b_{i,j})\in M_{n,m}(C)$ dată de: $b_{i,j}=a_{j,i}\forall i={\overline {1,n}};={\overline {1,m}}$

Matrice simetrică

Fie matricea pătrată $A=(a_{i,j})\in M_{n,n}(C)$. Se spune că matricea $A$ este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: :$a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j={\overline {1,n}}$

Operații cu matrice

Adunarea matricelor

Fie $A=(a_{ij}),\;B=(b_{ij}),\;C=(c_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).\!$

Matricea C se numește suma matricelor A, B dacă:

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\;\forall i={\overline {1,m}},\forall j={\overline {1,n}}.$

Observații.

1. Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci $A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).$

2. Explicit, adunarea matricelor A, B înseamnă:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}}=$

$={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}.$

Proprietăți ale adunării matricelor

Asociativitatea adunării. Adunarea matricelor este asociativă, adică:

$(A+B)+C=A+(B+C),\;\forall A,B,C\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).$

Comutativitatea adunării. Adunarea matricelor este comutativă, adică:

$A+B=B+A,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).$

Element neutru. Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru, adică:

$\exists O_{m,n}\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!$ astfel încât $A+O_{m,n}=A\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).$

Element opus. Orice matrice $A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!$ are un opus, notat $-A,$ astfel încât:

$A+(-A)=O_{m,n}.$

Înmulțirea cu scalari a matricelor

Fie $\lambda \in \mathbb {C}$ și $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).$ Se numește produsul dintre scalarul $\lambda \in \mathbb {C} \!$ și matricea A, matricea notată $\lambda A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )$ definită prin $\lambda A=(\lambda a_{ij}).$

Observație

A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:

$\lambda A={\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots &\lambda a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari

$\lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A,\;\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} );$

$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B,\;\forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} );$

$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A,\;\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} );$

$1\cdot A=A,\;1\in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).$

Înmulțirea matricelor

Fie $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),\;B=(b_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).$

Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat $AB$ este matricea $C=(c_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),$ definită prin:

$c_{kj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}b_{ij},\;\forall j={\overline {1,n}}.$

Observații

Produsul $AB$ a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă $A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),B\in M_{n,p}(\mathbb {C} ),$ adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice $C=AB\in M_{m,p}(\mathbb {C} ).$

Dacă matricele sunt pătrate $A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )$ atunci are sens întotdeauna atât $AB$ cât și $BA,$ iar în general, $AB\neq BA$ adică înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricelor

Asociativitatea înmulțirii. Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:

$(AB)C=A(BC),\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),\;\forall B\in M_{n,p}(\mathbb {C} ),\;\forall C\in M_{p,r}(\mathbb {C} ),$

Distributivitatea înmulțirii față de adunare. Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică:

$(A+B)C=AC+BC,\;C(A+B)=CA+CB,\;\forall A,B,C$

matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.

Dacă $I_{n}\in M_{n}(\mathbb {C} )$ este matricea unitate, atunci:

$I_{n}A=AI_{n}=A,\;\forall A\in M_{n}(\mathbb {C} ).$

se spune că $I_{n}\!$ este element neutru.

Determinanți

Articol principal: Determinant (matematică).

Dacă $A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(K),$ este o matrice pătrată cu elemente din K, atunci numărul:

$det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\varepsilon (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}$

se numește determinantul lui A.

Bibliografie

• Academia Română, Institutul de Lingvistică „Iorgu Iordan - Al. Rosetti”, Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române, Ediția a II-a revăzută și adăugită, Editura Univers Enciclopedic, București, 2005 ISBN 973-637-087-x
• Mădălina Roxana Buneci, Elemente de analiză matricială, (curs) utgjiu.ro, 2007

Lectură suplimentară

• Tiberiu Ionescu, Grafuri, aplicații, vol. I, (pp.71-143 & passim) Editura Didactică și Pedagogică, București - 1973;
• Alexandru Al. Roșu, Teoria grafelor, algoritmi, aplicații (cap. 4. Matrice asociate grafelor, pp.98-113 & passim), Editura Militară, București - 1974.

Vezi și

• Rangul unei matrice
• Teorema Cayley-Hamilton
• Matrice pătrată
• Urma matricii
• Diagonală principală

Legături externe

• en eMathZone.com