Matrice (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pentru alte sensuri, vedeți Matrice (dezambiguizare).

În matematică, o matrice (plural matrici) este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci masive n-dimensionale. Dacă m=n, matricea este pătrată.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Se numește matrice cu m linii și n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii și n coloane:

ale cărui elemente sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează și unde și Pentru elementul indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricelor de tip cu elemente numere reale se notează prin Aceleași semnificații au și mulțimile

Cazuri particulare[modificare | modificare sursă]

1) O matrice de tipul (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:

2) O matrice de tipul (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:

3) O matrice de tip se numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:

Sistemul de elemente reprezintă diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată:

Mulțimea matricelor pătrate se notează Printre aceste matrice, una este foarte importantă, aceasta fiind:

și se numește matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea a două matrice[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie , . Se spune că matricele sunt egale și se scrie dacă

Transpusa unei matrice[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie .

Transpusa matricei A este:

T dată de:

Matrice simetrică[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie matricea pătrată . Spunem că matricea este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: Fie M={1, 2, 3, ..., m} si N={1, 2, 3, ..., n}. A: M x N -> R, A(i,j) = ai,j se numește matrice de tipul (m, n), cu m linii și n coloane.

O matrice care are o dimensiune egală cu 1 se numește vector. O matrice A[1,n] (1 linie și n coloane) se numește vector linie, iar o matrice B[m,1] ( o coloană și m linii) se numește vector coloană. Exemple:

Este o matrice de tipul 4x3. Elementul A[3,1] sau a3,1 este 12. este o matrice de tipul (1, 7) sau vector linie.

O matrice A(m,n) care are m = n se numește matrice pătrată. Deci, o matrice pătrată este matricea care are numărul de linii egal cu numărul de coloane.

Operații cu matrice[modificare | modificare sursă]

Adunarea matricelor[modificare | modificare sursă]

Fie

Matricea C se numește suma matricelor A, B dacă:

Observații.

1) Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci

2) Explicit, adunarea matricelor A, B înseamnă:

Proprietăți ale adunării matricelor[modificare | modificare sursă]

(Asociativitatea adunării). Adunarea matricelor este asociativă, adică:

(Comutativitatea adunării). Adunarea matricelor este comutativă, adică:

(Element neutru). Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru, adică:

astfel încât

(Elemente opuse). Orice matrice are un opus, notat astfel încât:

Înmulțirea cu scalari a matricelor[modificare | modificare sursă]

Fie și Se numește produsul dintre scalarul și matricea A, matricea notată definită prin

Observație

A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari[modificare | modificare sursă]

Înmulțirea matricelor[modificare | modificare sursă]

Fie

Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat este matricea definită prin:

Observații

1) Produsul a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).

2) Dacă matricele sunt pătrate atunci are sens întotdeauna atât cât și iar în general, adică înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricelor[modificare | modificare sursă]

(Asociativitatea înmulțirii). Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:

(Distributivitatea înmulțirii față de adunare). Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică:

matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.

Dacă este matricea unitate, atunci:

spunem că este element neutru

Determinanți[modificare | modificare sursă]

Dacă este o matrice pătrată cu elemente din K, atunci numărul:

se numește determinantul lui A.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]