Unitatea imaginară

Unitatea imaginară, notată de obicei cu i, este un număr al cărui pătrat este $-1$, adică astfel încât $i^{2}=-1$.

Cum nu există numere reale care ridicate la pătrat să fie numere negative, un astfel de număr a fost numit imaginar de René Descartes, iar de aici rezultă notația i, dată de Euler.

Existența unității imaginare este baza construcției numerelor complexe. Unitatea imaginară înmulțită cu un număr real oarecare dă un număr imaginar, un număr complex cu parte reală nulă.

Definiție

Unitatea imaginară i este definită ca fiind o soluție a ecuației:

$x^{2}+1=0\$

Dată fiind această soluție, singura cealaltă soluție a ecuației este -i. Nu contează care soluție este notată i și care soluție este notată -i, ambele soluții fiind imposibil de distins a priori.

Notații alternative

Unitatea imaginară este uneori scrisă ca ${\sqrt {-1}}$. Însă, această expresie este de evitat pentru că nu este riguroasă — rădăcina pătrată fiind definită numai pentru numere reale pozitive — și conduce la niște erori. Spre exemplu, următorul calcul este incorect:

$-1=i\cdot i=\underbrace {{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}} _{\text{expresie nedefinită}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$    (incorect)

În fizică, mai ales în ingineria electronică, se mai folosește simbolul j, pentru a evita o confuzie cu intensitatea curentului electric. Această notație se folosește și în niște limbaje de programare, precum Python:

>>> x = 1 + 1j
>>> type(x)
<class 'complex'>

Proprietăți

• Modulul lui i este 1: $|i|=1$
• Argumentul principal al lui i este $\pi /2$: $\mathrm {Arg} (i)=\pi /2$
• Coordonatele carteziene ale lui i în planul complex sunt $(0,1)$, iar coordonatele sale polare sunt $(1,\pi /2)$.
• O reprezentare exponențială a lui i este $i=e^{i\,\pi /2}$.
• Inversul lui i este propriul său opus: $1/i=-i$
• Conjugatul lui i este propriul său opus: ${\bar {i}}=-i$
• Numărul i este o rădăcină de ordin patru a unității, iar puterile întregi sale se repetă periodic:

$i^{0}=1,\;i^{1}=i,\;i^{2}=-1,\;i^{3}=-i,\;i^{4}=1,\;i^{5}=i,\;\dots$

Vezi și

• Număr complex
• Identitatea lui Euler

Legături externe

• en Imaginary unit – Mathworld