Spațiu afin

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Segmente într-un spațiu afin bidimensional

În geometria afină, un spațiu afin este o structură geometrică ce generalizează anumite proprietăți ale dreptelor paralele din spațiul euclidian.

Descriere[modificare | modificare sursă]

Considerând un corp comutativ K, elementele sale vor fi notate de obicei cu primele litere ale alfabetului latin: a, b, c etc.

Definiție: Fie o mulțime amorfă A, nevidă, cu elemente numite puncte, iar V un spațiu vectorial peste corpul comutativ K. Dacă aplicația φ : A x A → V are următoarele proprietăți:

  • φ(A,B) + φ(B,C) = φ(A,C)
  • există un punct O din A, astfel încât φO este o bijecție

atunci tripletul (A, V, φ) se va numi spațiu afin, iar φ se va numi structură afină.

Exemplu: Planul și spațiul geometric euclidian sunt spații afine peste spațiile vectoriale ale vectorilor liberi asociați.

Teoremă: Fie următorul triplet (A, V, φ. Dacă (A, V, φ) este un spațiu afin, atunci oricare ar fi B o submulțime din A, aplicația φB: A →V este o bijecție.

Corolar 1: Pentru oricare ar fi B o submulțime din A si x din V,există un unic punct C astfel încât vectorul BC=x

Corolar 2: Oricare ar fi B din A există o structură de spațiu vectorial pe A cu punctul B nul. A este izomorf cu V prin φB înzestrat cu această structură.