Număr complex

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În matematică, numerele complexe au apărut ca soluții ale ecuațiilor de forma , cu p număr real strict pozitiv, așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma , unde q nu este un pătrat perfect.

Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, (a,b), înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

,
.

Mulțimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu .

Elementul neutru al operației de adunare este iar elementul neutru al operației de înmulțire este .

Deoarece și , mulțimea numerelor reale, , poate fi privită ca submulțime a lui , identificând numărul real cu .

Numărul complex are proprietatea , adică identificat cu numărul real . Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul " („i” de la „imaginar”).

Numerele complexe de forma se numesc „numere imaginare”.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Primul matematician care menționează sumar radicali de ordinul II din numere negative exprimate ca diferență de numere intregi pozitive e Heron din Alexandria la un calcul legat de o mărime geometrică pentru trunchi de con.

Următorul matematician care descoperă prezența radicalilor din numere negative (la studiul ecuației de gradul al treilea) e Girolamo Cardano in 1545. In tratatul din 1572 Rafael Bombelli face un studiu al regulilor operațiilor cu numere complexe. Acest studiu e continuat în secolul următor de Rene Descartes și John Wallis, ulterior de Abraham de Moivre și Roger Cotes care stabilesc conexiunea dintre numere complexe și trigonometrie. Cotes in 1715 ajunge la a deduce formula lui Euler sub formă logaritmică.

Ulterior se extinde la scară extinsă printre matematicieni acceptarea reprezentării geometrice prin planul complex cu Caspar Wessel, Jean Robert Argand și Carl Friedrich Gauss.

Forma algebrică[modificare | modificare sursă]

Numărul complex este notat cu și numit „numărul i”. Are proprietatea .

Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex poate fi scris .

  • Forma algebrică a unui număr complex este , unde a și b sunt numere reale.
  • numit unitatea imaginară; ; .
  • Pentru un număr complex , se numește partea reală a lui și se notează , iar se numește partea imaginară a lui și se notează .
  • Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma: ) se mai numește „număr imaginar”.
  • Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
  • Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d).
  • Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
  • Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Forma trigonometrică[modificare | modificare sursă]

Orice număr complex a cărui formă algebrică este poate fi scris și sub formă trigonometrică, adică sub forma , unde este modulul numărului complex z, iar este argumentul acestui număr complex .

Forma trigonometrică permite sublinierea rezultatului operațiilor de înmulțire, împărțire, ridicare la un exponent intreg și extragerea de radicali.

  • , k={0,1,2,... n-1}

Forma exponențială[modificare | modificare sursă]

Numărul complex a cărui formă trigonometrică este poate fi scris sub forma exponențială . Această posibilitate reiese din formula lui Euler.

Forma matricială[modificare | modificare sursă]

Mulțimea matricilor de dimensiuni de forma: cu reprezintă de asemeni o formă de scriere a numerelor complexe, unde reprezintă matricea unitate și matricea reprezintă unitatea imaginară. Avem:

(analog cu )

Această mulțime reprezintă un subspațiu din spațiul vectorial al matricilor de dimensiuni .

Numerele reale corespund matricilor diagonale de forma

Conjugatul unui număr complex[modificare | modificare sursă]

  • Conjugatul complex al unui numar este numărul complex .
  • Proprietățile conjugatului complex :

Modulul unui număr complex[modificare | modificare sursă]

  • Modulul numărului complex este numărul real .
  • Proprietățile modulului:
    • (inegalitatea triunghiului)
    • Are loc identitatea și deci , dacă
    • .

Puterile și radicalii numerelor complexe[modificare | modificare sursă]

Puterile lui [modificare | modificare sursă]

Generalizare:

  • cu de forma
  • cu de forma
  • cu de forma
  • cu de forma

Puterile naturale ale numerelor complexe[modificare | modificare sursă]

Pentru puteri naturale ale numerelor complexe scrise sub forma polarǎ avem formula de calcul:

sau, folosind forma algebricǎ a numerelor complexe , se obține

  • ,

unde reprezintǎ combinǎri de luate câte .

Puterile complexe ale numerelor complexe[modificare | modificare sursă]

Dacǎ baza și exponentul al puterii sunt ambele numere complexe, atunci

Radicalii numerelor complexe[modificare | modificare sursă]

În ceea ce privește calculul cu radicali ai numerelor complexe, nu mai sunt valabile regulile de calcul de la numere reale nenegative pentru produse și câturi. Indiferent care din cele două valori se folosesc, i sau se obține:

Pentru calculul radicalului de ordinul n al unui număr complex se folosește formula

,

unde k ia valorile . Un număr complex are deci n rădăcini complexe. Astfel, radicalul unui număr complex nu este unic determinat.

Logaritmul unui număr complex[modificare | modificare sursă]

Logaritmul natural al unui număr complex nu este unic determinat. Un număr complex w reprezinta logaritmul natural al unui număr complex z, dacă

.

Prin w se înțelege orice număr de forma ca fiind logaritmul natural al numărului z unde . Drept consecință se lucrează în majoritatea cazurilor cu valori principale ale numerelor complexe, adică fâșii ale planului numerelor complexe.

Valoarea principală a unui număr complex este

unde și

.

sau, formulat altfel

,

unde este valoarea principală a argumentului numărului complex.

Reprezentarea grafică a numerelor complexe[modificare | modificare sursă]

Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Așa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat într-un plan denumit planul complex. Numărului complex z = a + bi i se asociază punctul M(a,b) situat pe un cerc de rază egală ca lungime cu modulul r al numărului complex. Această asociere stă la baza diagramelor Argand.

Reprezentarea grafică pentru numere complexe a fost studiată începând cu John Wallis.

Formula lui Euler și identitatea lui Euler[modificare | modificare sursă]

În cazul în care φ = π se obține "Identitatea lui L. Euler".[1]

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Nicolae Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981, p. 206-208

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]


Ulam 1.png MatematicăTeoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
Matematicieni specializați în Teoria numerelor (categorie)

 • •  • •  • •  • •  • •  • •  • • •  • • •