Spațiu topologic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un spațiu topologic este o mulțime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noțiunile de vecinătate, convergență și limită.

Ca definiție formală, un spațiu topologic este o pereche , cu ( desemnează mulțimea submulțimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăți:

  1. și
  2. dacă , atunci
  3. dacă , atunci

Mulțimile din se numesc mulțimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulțimea vidă și spațiul însuși trebuie să fie mulțimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecție de două mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă; prin inducție matematică rezultă de aici că intersecția oricărei familii finite de mulțimi deschise este o mulțime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  1. este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulțime.
  2. este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă.
  3. Dacă d este o funcție distanță (o metrică) definită pe X (X este un spațiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulțimi deschise toate mulțimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulțime:

unde este bila (deschisă) de centru x și de rază .

Vecinătăți[modificare | modificare sursă]

Se numește vecinătate a unui punct al unui spațiu topologic orice submulțime ce conține o mulțime deschisă ce conține punctul : .


Submulțimi speciale ale unui spațiu topologic[modificare | modificare sursă]

Mulțimi închise[modificare | modificare sursă]

O submulțime a unui spațiu topologic X se numește închisă dacă complementul său față de spațiul X este o mulțime deschisă.

Din proprietățile mulțimilor deschisă rezultă că mulțimea vidă, întreg spațiul X, orice reuniune finită de mulțimi închise și orice intersecție (posibil infinită) de mulțimi închise este o mulțime închisă.

Mulțimi conexe[modificare | modificare sursă]

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulțimi deschise disjuncte:

Pentru întregul spațiu X, condiția de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulțime simultan închisă și deschisă decât mulțimea vidă și întregul spațiu.

Mulțimi compacte[modificare | modificare sursă]

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie satisfăcând , există o subfamilie satisfăcând .

Extinderi ale conceptului[modificare | modificare sursă]

Pentru orice structură algebrică se poate introduce o topologie discretă.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Andrei Iacob, Metode topologice în mecanica clasică, Editura Academiei RSR, 1973.

Vezi și[modificare | modificare sursă]