Ecuația lui Schrödinger

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În fizică, în special în mecanica cuantică, ecuația lui Schrödinger este o ecuație cu derivate parțiale care descrie modul în care se schimbă în timp starea cuantică a unui sistem fizic, sau mai pe scurt interdependența dintre spațiu și timp. Aceasta este ecuația centrală a mecanicii cuantice, așa cum sunt legile lui Newton în mecanica clasică.

În interpretarea standard din mecanica cuantică, starea cuantică, numită și funcția de undă sau vectorul de stare, este cea mai completă descriere care poate fi făcută unui sistem fizic. Soluția ecuației lui Schrödinger descrie nu numai sistemele atomice și subatomice, atomi și electroni, ci și sistemele macroscopice, posibil chiar întregul univers. Ecuația a fost numită astfel după Erwin Schrödinger, cel care a dedus-o în 1926.[1]

Ecuația lui Schrödinger poate fi matematic transformată în formularea matricială (a mecanicii cuantice) a lui Heisenberg, precum și în formularea integralei de drum (a mecanicii cuantice) a lui Feynman, prin care se înțeleg integrale funcționale de pe întregul spațiu al drumurilor de la un punct A către un punct B. Ecuația lui Schrödinger descrie timpul într-un mod care nu este convenabil pentru teoria relativității, o problemă care nu este așa de severă în formularea lui Heisenberg și este complet absentă la integrala de drum.


Ecuația Schrödinger[modificare | modificare sursă]

În formularea matematică a mecanicii cuantice, fiecărui sistem de referință i se asociază un număr complex din spațiul Hilbert, astfel încât, fiecărei stări instantanee a sistemului îi corespunde câte un vector unitate din acel spațiu. Acel vector, numit adeseori și vector de stare al sistemului, „încapsulează” în unicitatea sa toate stările viitoare posibile ale măsurătorilor aplicate sau ale celor care urmează a fi aplicate sistemului. Dar cum starea sistemului este o funcție de timp, vectorul care descrie starea sistemului la un moment dat este el însuși o funcție de timp, iar ecuația lui Schrödinger descrie cantitativ variația modificării vectorului de stare.

Ecuația Schrödinger ia diverse forme care depind de situația fizică analizată. Această secțiune prezintă ecuația în cazul general precum și în câteva cazuri simple.


Sistemul cuantic general[modificare | modificare sursă]

Pentru sistemul cuantic general avem ecuația:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)

în care:

Operatorul Hamiltonian descrie starea energiei totale a sistemului. Aidoma legii forței din mecanica newtoniană, și aici, forma exactă a forței trebuie calculată independent, fiind o funcție a proprietăților fizice intrinseci ale sistemului.


Particulă unică în tridimensional[modificare | modificare sursă]

Pentru un sistem tridimensional avem ecuația

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)

în care:

  • \mathbf{r} = (x,y,z) este poziția particulei în spațiul tridimensional,
  • \Psi(\mathbf{r},t) este funcția de undă, reprezentând amplitudinea unei particule care are o poziție dată r, oricare ar fi timpul t,
  • m \,\! este masa particulei,
  • V(\mathbf{r}) este energia potențială a particulei în fiecare poziție r, independentă de timp,
  • \nabla^2 este operatorul Laplace.


Contextul istoric și dezvoltare[modificare | modificare sursă]

Einstein interpretează cuanta lui Planck ca foton, particulă de lumină, și a presupus că energia fotonului este proporționlă cu frecvența lui, misterioasa dualitate undă-corpuscul. Deoarece energia și impulsul sunt legate în același fel ca frecvența cu numărul de undă din teoria relativității, rezultă că impulsul unui foton este proporțional cu numărul lui de undă.

Ducele de Broglie avansează ipoteza că acest lucru este adevărat pentru toate particulele, indiferent că sunt electroni sau fotoni, și anume că, energia și impulsul unui electron sunt frecvența și numarul de undă ale unei unde. Presupunând că undele călătoresc cu aproximație de-a lungul traseelor clasice, a arătat că ele formează unde staționare numai pentru anumite frecvențe discrete, și anume, pentru nivele de energie discrete care reproduc condițiile cuantice clasice.

Urmând acestă idee, Schrödinger s-a decis să găsească o ecuație de undă corespunzătoare pentru electron. El s-a ghidat de analogia lui Hamilton dintre mecanică și optică, prin observația că limita zero a lungimii de undă din optică seamănă cu un sistem clasic; traiectoriile razelor de lumină devin unde purtătoare care se supun unui principiu analog principiului minimei acțiuni. Și Hamilton a crezut că mecanica este limita zero a lungimii de undă, dar nu a formulat nici o ecuație pentru astfel de unde. Este meritul lui Schrödinger de a fi pus în termeni matematici această presupunere; o versiune modernă a raționamentului său este reprodus în secțiunea următoare.

Ecuația pe care a găsit-o, dată în unități naturale, este:

i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,\,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(x,\,t) + V(x)\Psi(x,\,t)

Folosind această ecuație, Schrödinger calculează liniile spectrale ale hidrogenului, tratând ca o undă singurul electron încărcat negativ al atomul \Psi(x,\,t)\; mișcându-se într-o regiune cu un potențial inferior V, în comparație cu potențialul din jurul ei [2] , creată de sarcina pozitivă a protonului. Acest calcul reproduce nivelele de energie ale modelului Bohr.

Dar acest lucru nu a fost suficient, deoarece Sommerfeld adusese deja corecții relativiste. Schrödinger folosește relația impulsului relativist pentru a găsi ceea ce este cunoscută drept ecuația Klein–Gordon într-o regiune cu potențialul descris de legea lui Coulomb.

\left(E + {e^2\over r} \right)^2 \psi(x) = - \nabla^2\psi(x) + m^2 \psi(x)

El a găsit undele obișnuite ale acestei ecuații relativiste, dar corecția relativistă nu a fost în concordanță cu formula lui Sommerfeld. Descurajat, a lăsat calculul deoparte și a invitat o prietenă din tinerețe într-o cabană izolată din munții Alpi, la Arosa [3].

Fiind acolo, Schrödinger se hotărăște să lase pe viitor problema corecției relativiste, considerând că acest calcul nerelativist, reprodus mai sus, era demn de a fi publicat. Astfel, în 1926 el a publicat în aceeași lucrare ecuația undelor și analiza spectrală a hidrogenului [4] . Lucrarea a fost aprobată cu entuziasm de Einstein, care a văzut asocierea corpuscul-undă ca o contrapondere la ceea ce el considera a fi formalismul excesiv al mecanicii matriciale.

Ecuația Schrödinger detaliază comportamentul undelor \psi \,\!, dar nu spune nimic de natura lor. Schrödinger a încercat fără succes, în cele patru lucrări ale sale, să le interpreteze ca o schimbare a densității [5]. În 1926, la numai câteva zile după ce Schrödinger și-a publicat cea de-a patra și ultima lucrare, Max Born a interpretat cu succes funcția \psi \,\! ca o probabilitate statistică [6]. Schrödinger s-a opus întotdeauna unei interpretări statistice sau probabilistice în ceea ce privesc discontinuitățile, ca și Einstein, care a crezut că mecanica cuantică a fost doar o apropiere statistică la o teorie deterministă, iar Schrödinger nu s-a împăcat niciodată cu interpretarea de la Copenhaga[7].


Derivații[modificare | modificare sursă]

Scurte derivații euristice[modificare | modificare sursă]

Ipoteze[modificare | modificare sursă]

(1) Energia totală E a unei particule este:
E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V
Aceasta este formula clasică pentru o particulă în care avem:
Energia potențială se presupune că este variabilă cu poziția particulei în spațiu și posibil funcție de timp.
De notat că energia E și impulsul p apar în următoarele două relații:
(2) Ipoteza cuantei de lumină a lui Einstein din 1905, care postulează că energia E \,\! a unui foton este proportională cu frecventa f \,\! a undei electromagnetice corespunzătoare:
E = h f  = {h \over 2\pi} (2\pi f)  = \hbar \omega \;
unde frecvența f \,\! a cuantei de radiație fotonică este legată de constanta h \,\! a lui Planck,
iar \omega = 2\pi f\; este frecvența unghiulară a undei.
(3) Ipoteza lui DeBroglie postulează că orice particulă poate fi asociată cu o undă, reprezentată matematic prin funcția de undă \psi\, și că impulsul p\, al particulei este legat de lungimea de undă \lambda\,a undei asociate prin relația:
p = { h \over \lambda }  =  { h \over 2\pi } {2\pi \over \lambda} = \hbar k\;
în care \lambda\, este lungimea de undă, iar k = 2\pi / \lambda\; este numărul de undă.
Exprimând pe k și p ca vectori, avem:
\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;


Expresia funcției de undă ca o undă din planul complex[modificare | modificare sursă]

Marea intuiție a lui Schrödinger din 1925, a fost să exprime faza unei unde plane ca un factor de fază complex:

\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}

și să realizeze că deoarece:

 \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -i\omega \Psi

atunci

 E \Psi = \hbar \omega \Psi =  i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi

și similar, deoarece:

 \frac{\partial}{\partial x} \Psi = i k_x \Psi

iar

 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi = - k_x^2 \Psi

găsim:

 p_x^2 \Psi = (\hbar k_x)^2 \Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi

astfel că, obținem din nou pentru o undă plană ecuația:

 p^2 \Psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \Psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \Psi = -\hbar^2\nabla^2 \Psi

Iar prin inserarea acestor expresii pentru energie și impuls în formula clasică, ajungem la celebra ecuație a lui Schrödinger pentru o singură particulă din cazul tridimensional, în prezenta unui potențial V:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi


O lungă discuție[modificare | modificare sursă]

Particula este descrisă de o undă; frecvența este energia E\,\! a particulei, iar impulsul p\,\! este un număr de undă k\,\!. Datorită relativității speciale, acestea nu sunt două ipoteze separate:

E= \hbar \omega \;\;\;\;p=\hbar k \,

Energia totală este aceeași funcție de impuls și poziție ca în mecanica clasică:

E = T(p) + V(x) = {p^2\over 2m} + V(x)

unde primul termen T(p)\,\! este energia cinetică, iar cel de-al doilea V(x)\,\! este energia potențială.

Schrödinger cere ca pachetul de unde din poziția x cu numărul de undă k să se miște în lungul traiectoriei determinate de legile lui Newton, în limita în care lungimea de undă este mică.

Considerăm primul caz fără potențial (V=0).

E = {1\over 2m} (p_x^2+p_y^2 + p_z^2)
 \omega = {\hbar\over 2m} (k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)

Astfel că o undă plană cu legătura energie/frecvență corectă se supune ecuației Schrödinger pentru o particulă liberă:

i \hbar {\partial \over \partial t} \Psi = -{\hbar^2 \over 2m} \left( {\partial^2 \Psi \over \partial x^2} + {\partial^2 \Psi \over \partial y^2} + {\partial^2 \Psi \over \partial z^2} \right)

iar prin unirea undelor plane, putem obține o undă arbitrară.

Acolo unde nu există potențial, un pachet de unde ar trebui să călătorească cu viteză clasică. Viteza de grup v a pachetului de unde este:

 v = {\partial \omega \over \partial k } = {\partial \over \partial k} {{ \hbar\over 2m}k^2} = { \hbar k\over m}

care reprezintă raportul dintre impuls și masă. Aceasta este una din ecuațiile lui Hamiton din mecanică:

{dx \over dt} = {\partial H \over \partial p}

dupa ce identificăm energia și impulsul unui pachet de unde ca frecvență și număr de undă.

Pentru a include energia potențială, se consideră că energia de mișcare a particulei se conservă, asftel că, pentru un pachet de unde cu un numar aproximativ de unde k într-o poziție aproximativă x, cantitatea:

 {\hbar^2  k^2\over 2m } + V(x)

trebuie să fie constantă. Frecvența nu se schimbă când o undă se mișcă, dar se schimbă numărul de undă. Deci, acolo unde există o energie potențială, ea trebuie adăugată în același fel, adică:

i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi=-{\hbar^2 \over 2m}\nabla^2\Psi + V(x)\Psi

Aceasta este ecuația lui Schrödinger dependentă de timp. Este de fapt ecuația energiei din mecanica clasică, transformată într-o ecuație diferențială prin substituția:

E\rightarrow i\hbar {\partial\over \partial t} \qquad p\rightarrow -i\hbar {\partial\over \partial x}

Schrödinger a studiat soluția undelor staționare, deoarece reprezentau nivelele de energie. Undele staționare au o dependență complicată față de poziția din spațiu, dar au o variație simplă față de timp:

\Psi(x,t) = \psi(x) e^{- iEt / \hbar }\,

Substituind–o în ecuația dependentă de timp, aceasta devine o ecuație de unde staționare:

{E}\psi(x) = - {\hbar^2 \over 2m} \nabla^2 \psi(x) + V(x) \psi(x)

care este ecuația Schrödinger independentă de timp originală.

Într-un gradient de potențial, vectorul de undă k cu lungime de undă scurtă, trebuie să varieze punctual pentru ca energia totală să rămână constantă. Formele perpendiculare ale vectorului k sunt unde de front, ele schimându-și în mod gradat direcția, deoarece lungimea de undă nu este aceeași peste tot. Un pachet de unde se deplasează după frontul de undă cu viteză clasică, cu accelerația egală cu forța impărțită la masă.

Un mod modern și ușor de a verifica că legea a doua a lui Newton este valabilă pentru pachetul de unde, este acela de a considera transformata Fourier a ecuației Schrödinger dependente de timp. Pentru un potențial polinomial acesta se numește reprezentarea ecuației lui Schrödinger în funcție de impuls:

i\hbar {\partial \Psi(p,\,t) \over \partial t} = {p^2\over 2m} \Psi(p,\,t) + V(i{\partial\over \partial p}) \Psi(p,\,t)

Relația vitezei de grup prin transformata Fourier a pachetului de unde conduce la obținerea celei de-a doua ecuație a lui Hamilton:

{dp \over dt} = -{\partial H \over \partial x}


Versiuni[modificare | modificare sursă]

Există mai multe ecuații denumite după numele lui Schrödinger.

Ecuația dependentă de timp[modificare | modificare sursă]

Aceasta este ecuația de mișcare pentru stările cuantice. În forma cea mai generală se scrie:

i \hbar{\partial \over \partial t} \Psi(x,\,t) = \hat H \Psi(x,\,t)

unde \hat H este un operator liniar care acționează asupra funcției de undă \Psi\,\!. \hat H are ca intrare o funcție \Psi\,\! și produce într-un mod liniar o funcție spațială a unei matrici care multiplică un vector. Pentru cazul special al unei singure particule mișcându-se unidimensional sub influența potențialului V, avem:

i \hbar {\partial \over \partial t} \Psi(x,\,t)= -{\hbar^2  \over 2m} {\partial^2 \over \partial x^2} \Psi(x,\,t)+ V(x)\Psi(x,\,t)\,

în care operatorul \hat H este scris ca:

\hat H = -{\hbar^2  \over 2m} {\partial^2 \over \partial x^2} + V(x)\,

fiind o combinație a unui operator care ia în considerație derivata a doua și un operator care multiplică pe \Psi\,\! cu V(x) .

Pentru o particulă în tridimensional singura diferență este aceea că apar derivatele pe cele trei direcții:

i \hbar {\partial \over \partial t}\Psi(x,\,t)= -{\hbar^2  \over 2m} \nabla^2 \Psi(x,\,t)+ V(x)\Psi(x,\,t)\,

iar pentru N particule diferența este că funcția de undă se află în spațiul configurațiilor de dimensiune 3N, spațiul cu toate pozițiile posibile ale particulelor, dar soluția ei este foarte greu de vizualizat.

i \hbar {\partial \over \partial t} \Psi(x_1,...,x_n,t) = \hbar^2  (-{\nabla_1^2\over 2m_1} - {\nabla_2^2 \over 2m_2} ... - {\nabla_N^2\over 2m_N} ) \Psi(x_1,...,x_n,t) + V(x_1,..,x_n,t)\Psi(x_1,...,x_n,t)\,


Ecuația independentă de timp[modificare | modificare sursă]

Aceasta este ecuația undelor staționare, ecuația valorilor proprii pentru \hat H\,. Pentru un sistem cuantic general scris sub formă abstractă, avem:

\hat H \psi = E \psi\,

Pentru o particulă mișcându-se unidimensional:

E \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V(x)\psi\,

dar avem o restricție – soluția nu trebuie să crească la infint, astfel că, norma L2 trebuie să fie finită:

\| \psi \|^2 = \int |\psi(x)|^2\, dx\,

De exemplu, când nu există nici un potențial ecuația conduce la:

 - E \psi = \frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi \over \partial x^2}\,

care are soluții oscilatorii pentru E > 0:

\psi_E(x) = C_1 e^{i\sqrt{2mE/\hbar^2}\,x} + C_2 e^{-i\sqrt{2mE/\hbar^2}\,x}\,

și soluții exponențiale pentru E < 0:

\psi_{-|E|}(x) = C_1 e^{\sqrt{2m|E|/\hbar^2}\,x} + C_2 e^{-\sqrt{2m|E|/\hbar^2}\,x} \,

Soluțiile care cresc exponențial au norma infinită și nu reprezintă soluții fizice. Ele sunt interzise într-un spațiu finit cu condiții la limită fixe sau periodice.

Pentru un potențial constant V soluția este oscilatorie pentru E > V și exponențială pentru E < V, corespunzând energiilor care sunt permise sau interzise în mecanica clasică. Soluțiile oscilatoare au o energie clasică permisă și corespund mișcării clasice actuale, în timp ce soluțiile exponențiale au o energie interzisă și descriu o mică cantitate cuantică dintr-o zonă clasică interzisă, cuanta de tunel. Dacă potențialul V crește la infinit, mișcarea este limitată la o regiune finită, ceea ce înseamnă că, în mecanica cuantică, fiecare soluție devine o exponențială cu valore foarte ridicată . În condiția în care exponențiala este descrescătoare, nivelele energetice sunt restricționate la un set de energii discrete, numite energii permise.

Valori staționare ale energiei[modificare | modificare sursă]

O soluție \psi_E(x)\,\! a ecuației independente de timp se numește valoarea staționară a energiei, având energia E:


H\psi_E = E \psi_E
\,

Pentru a găsi dependența de timp a stării, considerăm întâi că ecuația dependentă de timp are condiția inițială \psi_E(x)\,\!. La timpul t = 0 avem peste tot proporționalitatea:


\left.i\hbar {\partial \over \partial t} \Psi(x,\,t)\right|_{t=0}= \left.(H \Psi(x,\,t))\right|_{t=0} = \left.H (\Psi(x,\,t))\right|_{t=0}= H \Psi_E(x)=E \Psi(x,\,0)
\,

Astfel că, la început, întreaga funcție trebuie doar re-etalonată, menținându-se astfel propritatea că derivata funcție de timp este proporțională cu ea însăși, H\,\! fiind liniar. Atunci, indiferent care este timpul t avem ecuația:


\Psi(x,\,t)= A(t) \psi_E(x)
\,

substituind,


i\hbar {dA \over dt } = - E A
\,

astfel că, soluția ecuației dependente de timp, cu această condiție inițială, este:


\Psi(x,\,t) = \psi_E(x) e^{-i{E t/\hbar}}
\,

Acestă ecuație este o reformulare a faptului că, soluțiile ecuației independente de timp sunt soluțiile undelor staționare ale ecuației dependente de timp. Ele dau numai multiplicatorul de faza cu trecerea timpului, altfel rămân nechimbate. Deoarece \scriptstyle |\psi_E(x) e^{-i{E t/\hbar}}|^2 este independentă de timp, soluțiile sunt numite stări staționare.

Superpoziția valorilor staționare ale energiei schimbă proprietățile lor în acord cu fazele relative dintre nivelele energetice.


Ecuația neliniară[modificare | modificare sursă]

Ecuația Schrödinger neliniară este o ecuație diferențială cu derivate partiale de forma:

i\partial_t\psi=-{1\over 2}\partial^2_x\psi+\kappa|\psi|^2 \psi

pentru câmpul complex \psi\,\!.

Această ecuație derivă din hamiltonianul:

H=\int \mathrm{d}x \left[{1\over 2}|\partial_x\psi|^2+{\kappa \over 2}|\psi|^4\right]

cu parantezele lui Poisson:

\{\psi(x),\psi(y)\}=\{\psi^*(x),\psi^*(y)\}=0 \,
\{\psi^*(x),\psi(y)\}=i\delta(x-y). \,

Este de notat faptul că aceasta este ecuația unui câmp clasic, care spre deosebire de omologul său liniar, niciodată nu va descrie evolutia în timp a unui stari cuantice.


Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Derivata cu timpului de ordinul întâi[modificare | modificare sursă]

Ecuația lui Schrödinger descrie evoluția în timp a unei stări cuantice și trebuie să determine starea viitoare a unui sistem placând de la starea prezentă. Ecuația câmpului clasic poate avea derivate de ordinul doi în funcție de timp, iar starea clasică poate include și derivatele de timp ale câmpului. Dar starea cuantică este o descriere completă a sistemului, astfel că ecuația Schrödinger este întotdeauna de ordinul întâi.


Liniaritatea[modificare | modificare sursă]

Ecuația Schrödinger a funcției de undă este liniară: dacă \Psi_A(x, t)\,\! și \Psi_B(x,t)\,\! sunt soluții ale ecuației dependente de timp, la fel și combinația lor  a \Psi_A +  b \Psi_B \,\!, unde a și b sunt două numere complexe oarecare, este soluția ecuației.

În mecanica cuantică, evoluția în timp a unei stări cuantice este întotdeauna liniară, datorită principiului superpoziției. Totuși există și versiunea neliniară a ecuației lui Schrödinger, dar aceasta nu este o ecuație care să descrie evoluția unei stări cuantice, precum ecuația lui Maxwell sau ecuația Klein-Gordon din teoria clasică.

Însuși ecuația lui Schrödinger poate fi gândită ca o ecuație de mișcare pentru un câmp clasic și nu ca o funcție de undă. Din acest punct de vedere, câmpul descrie coerent o undă materială nerelativistă, o undă Bose condensată sau un superfluid cu un număr foarte mare de particule, dar cu fază și amplitudine definite.


Valori staționare reale[modificare | modificare sursă]

Ecuația independentă de timp este de asemenea liniară, dar în acest caz liniaritatea are un înteles putin diferit. Dacă două funcții de undă \psi_1 \,\! și \psi_2 \,\! sunt soluții ale ecuației independente de timp, având aceeași energie E, atunci orice combinație liniară a lor este o soluție care are energia E. Două soluții care au aceeași energie se numesc degenerate:


\hat H (a\psi_1 + b \psi_2 ) = ( a \hat H \psi_1 + b \hat H \psi_2) = E (a \psi_1 + b\psi_2)
\,

Într-un potențial arbitrar, nu există o degenerare evidentă: dacă o funcție de undă \psi \,\! este o soluție a ecuației independente de timp, la fel va fi și conjugata ei \psi^* \,\!. Luând combinația liniară a lor, părțile reale și imaginare ale funcției de undă \psi \,\!, sunt fiecare soluții ale ecuației în cauză. Astfel că, dacă ne axăm atenția numai pe valoarea reală a funcției de undă, acest lucru nu afectează problema valorilor proprii independente de timp.

În ecuația dependentă de timp, undele complex conjugate se mișcă în direcții opuse. Dând o soluție a ecuației dependente de timp este \Psi(x,\,t)\,\!, atunci înlocuirea:


\Psi(x,\,t) \rightarrow \Psi^*(x,\, - t)
\,

produce o altă soluție, care este extensia conjugatei complexe simetrice a cazului dependent de timp. Simetria conjugatei complexe se numește reversibilă de timp.


Evoluția unitară cu timpului[modificare | modificare sursă]

Ecuația Schrödinger este unitară, ceea ce înseamnă că norma totală a funcției de undă, care reprezintă suma pătratelor valorilor tuturor punctelor, adică:


\int_x \Psi^*(x,\,t) \Psi(x,\,t) dx = \langle \Psi| \Psi\rangle
\,

are derivata de timp zero.

Derivata funcției \Psi^*(x,\,t) \,\! este:


-i \hbar {\partial \over \partial t} \Psi^*(x,\,t)= \hat H^\dagger \Psi^*(x,\,t)
\,

unde operatorul H^\dagger este definit ca un analog continuu al operatorului Hermitian conjugat:


\langle \eta H^{\dagger} | \Psi\rangle = \langle \eta | H \Psi\rangle
\,

Pentru o bază discretă, matricea elementelor operatorului liniar H se supune legii:


\hat H_{ij} = \hat H^*_{ji}
\,

Derivata produsului scalar este:


{d\over dt} \langle \Psi| \Psi\rangle = i \langle \Psi\hat H^\dagger | \Psi\rangle - i \langle \Psi| H \Psi\rangle
\,

fiind proporțională cu partea imaginară a lui opratorului H. Dacă operatorul H nu are parte imaginară, adică este autoadjunct, atunci probabilitatea se conservă. Acest lucru este adevărat nu numai pentru ecuația Schrödinger de mai sus, ci și pentru ecuația Schrödinger cu discontinuități:


i\hbar{\partial \over \partial t} \Psi(x,\,t) = \int_y H(x,y) \Psi(y,\,t)
\,

atâta timp cât:


H(x,y) = H(y,x)^*
\,

Alegerea particulară:


H(x,y) = - {1\over 2m} \nabla_x^2 \delta(x-y) + V(x) \delta(x-y)
\,

reproduce saltul local din ecuația ordinară a lui Schrödinger. Într-o aproximare a laticei discrete pe un spațiu continuu, H(x,y) are forma simplă:


H(x,y) = -{1\over 2m} 
\,

ori de câte ori x și y sunt cele mai apropiate valori. Pe diagonală


H(x,x) = +{n\over 2m} + V(x)
\,

unde n este numărul celor mai apropiate valori.


Pozitivitatea energiei[modificare | modificare sursă]

Dacă potențialul este mărginit inferior, funcțiile proprii ale ecuației lui Schrödinger au de asemenea energia măginită inferior. Acest lucru poate fi văzut cel mai ușor prin utilizarea principiului variațional, după cum urmează:

Pentru orice operator liniar A mărginit inferior, vectorul propriu al celei mai mici valori proprii este un vector \psi \,\! care minimizează cantitatea:


\langle \psi |A|\psi \rangle

peste toți vectorii \psi \,\! normalizați:

\|\psi\|^2 = \int_x |\psi(x)|^2 =\langle \psi | \psi \rangle  = 1
\,

În acest fel, cea mai mică valoare proprie este exprimată cu ajutorul principiului variațional.

Pentru Hamiltonianul lui Schrödinger H \,\! mărginit inferior, cea mai mică valoare proprie a lui este numită stare energetică fundamentală. Această energie reprezintă valoarea minimă a integralei:


\langle \psi|H|\psi\rangle = \int_x  \psi^*(x) ( - \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi + V(x)\psi) = \int_x \frac{1}{2m}|\nabla \psi|^2 + V(x) |\psi|^2 dx

Partea dreaptă a egalității nu este niciodată mai mică decât cea mai mică valoare a lui V(x)\,\!; în particular, starea energetică fundamentală fiind pozitivă când V(x)\,\! este pozitivă peste tot.


Starea fundamentală nedegenerată pozitiv definită[modificare | modificare sursă]

Pentru potentialul V(x)\, care este mărginit inferior și nu are valoare infinită, astfel încât să dividă spațiul în regiuni care sa fie inaccesibile prin efectul de tunel, există o stare fundamentală care minimizează integrala de mai sus. În acest caz, funcția de undă cu energia cea mai joasă este reală și nedegenerată și are peste tot același semn.

Pentru a dovedi acest lucru fie \psi\,\! funcția de undă a stării fundamentale. Partea reală si cea imaginară au stări fundamentale separate, asftel că nu pierdem din generalitate presupunând că \psi\,\! este reală. Presupunem acum, prin contradicție, că \psi\, schimbă de semn. Definim pe \eta(x)\,\! ca valoare absolută a funcției \psi\,\!:

\eta=|\psi|\,

Integrala potențialului și a energiei cinetice pentu \eta\,\! este egală cu \psi\,\!, exceptând cazul în care \eta\,\! are un nod acolo unde \psi\,\! schimbă de semn. Expresia energiei cinetice integrată prin părți, este suma pătratelor marimii gradientului și este întotdeauna posibil să înconjutăm nodul în așa fel încât gradientul să devină mai mic în fiecare punct, astfel că energia cinetică se diminuează.

Acest lucru demonstrează că starea fundamentală este nedegenerată. Dacă există două stări fundamentale \psi_1(x)\,\! și \psi_2(x)\,\! neproporționale și amândouă pozitive, atunci, o combinație liniară a celor două încă reprezintă o stare fundamentală, dar combinația lor poate fi făcută în așa fel încât să aibă o schimbare de semn.

Pentru potențialul unidimensional, fiecare stare proprie este nedegenerată, deoarece numărul de schimbări de semn este egal cu numărul de nivele.

Pentru bidimensional, este ușor să obținem o degenerare, de exemplu, dacă o particulă se mișca în potențiale separabile: V(x,y) = U(x) + W(y), atunci nivelul energiei este suma energiilor unidimensionale. Este ușor de văzut că ajustând global valorile lui U și V, aceste pot fi egalate.

Ca un exemplu standard, degerenescența oscilatorului armonic tridimensional și a potențialului central este o consecința a simetriei.


Completitudine[modificare | modificare sursă]

Energia stărilor proprii formează o bază – și orice funcție de undă poate fi scrisă ca o sumă a tuturor stărilor discrete sau ca o integrală a tuturor stărilor energetice continue. Aceasta este teorema spectrală din matematică, iar într-un spațiu de stări finite este doar o exprimare completă a vectorilor proprii ai matricii Hermitiene.


Conservarea locală a probabilității[modificare | modificare sursă]

Probabilitatea densității unei particule este \Psi^*(x,\,t)\Psi(x,\,t). Probabilitatea fluxului este definită ca:

 \mathbf{j} = {\hbar \over m} \cdot {1 \over {2 \mathrm{i}}} \left( \Psi^{*} \nabla \Psi  - \Psi\nabla \Psi^{*} \right)  = {\hbar \over m} \operatorname{Im} \left( \Psi ^{*} \nabla \Psi\right)

în unități de (probabilitate)/(area×time).

Probabilitatea fluxului satisface ecuația de continuitate:

{ \partial \over \partial t} P\left(x,t\right) + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0

unde P\left(x, t\right) este probabilitatea densității și este măsurată în unități de (probability)/(volume) = r−3. Această ecuație este echivalentul matematic al legii conservării probabilității.

Pentru o undă plană avem:

 \Psi(x,t) = \, A e^{ \mathrm{i} (k x - \omega t)}
 j\left(x,t\right) = \left|A\right|^2 {\hbar k \over m}

Astfel că, probabilitatea fluxului, reprezintă nu numai probabilitatea de a găsi aceeași particulă peste tot, dar și cu viteză clasică p/m \,\!, a unui obiect în mișcare.

Motivul pentru care ecuația lui Schrödinger admite probabilitatea fluxului este acela că toate salturile sunt locale și transmise în timp.


Observabilele Heisenberg[modificare | modificare sursă]

Există mulți operatori liniari care acționează asupra funcției de undă, fiecare dintre ei definind o matrice Heisenberg atunci când stările proprii energetice sunt discrete. Pentru o singură particulă, operatorul de derivare al funcției de undă pe o anumită direcție este:


\hat p = -{i\hbar {\partial \over \partial x}}

El este numit operatorul impuls. Multiplicarea operatorilor este la fel ca multiplicarea matricilor, adică, produsul A și B actionând asupra lui \psi\,\! este de fapt acțiunea lui B asupra lui \psi\,\!, iar A acționează asupra iesirii lui B.

O stare proprie a lui p\, este dată de ecuația:


\hat p \psi = k \psi
\,

pentru un număr k oarecare, iar pentru o funcție de undă normalizată k trebuie să fie real. Starea proprie a impulsului este o undă care are frecvența k.


\psi(x) = e^{i kx}
\,

Operatorul de poziție x multiplică fiecare valoare a funcției de undă din poziția x prin x:


\hat x(\psi) = x\psi

Așadar, pentru a fi o stare proprie de x, o funcție de undă trebuie să fie concentrată în întregime asupra unui punct:


\hat x \delta(x-x_0) = x_0 \delta(x-x_0)

În funcție de p, Hamiltonianul este:


\hat H = {\hat p^2\over 2m} + V(x)

Este ușor de observat că p acționează asupra lui x care acționează asupra lui \psi\,:


\hat p (\hat x( \psi)) = -i \hbar {\partial \over \partial x}( x \psi) = -i \hbar x {\partial \over \partial x}\psi -i\hbar \psi

în timp ce x acționând asupra lui p care acționează asupra lui \psi\, reproduce doar primul termen:


\hat x(\hat p (\psi)) = -i \hbar x{\partial \over \partial x} \psi

astfel că diferența celor două nu este zero:


( x p - p x ) \psi = i \hbar \psi
\,

sau în termeni de operatori:


[x,p] = xp - px = i \hbar
\,

Deoarece derivata în funcție de timp a unei stări este:


i\hbar{\partial\over \partial t} \Psi = \hat H \Psi
\,

în timp ce conjugatul complex este:


- i\hbar{\partial\over \partial t} \Psi ^* =  \hat H \Psi^*
\,

Atunci, derivata în funcție de timp a unui element al matricei:


{d \over dt} \langle \eta | \hat A |\Psi\rangle = - \langle \eta | \hat H \hat A |\Psi\rangle+ \langle \eta | \hat A \hat H |\Psi\rangle= \langle \eta |[\hat H,\hat A]|\Psi\rangle
\,

se supune ecuației de mișcare a lui Heisenberg. Acest lucru stabilește echivalența dintre ecuația lui Schrödinger și formalismul lui Heisenberg, ignorând punctele de finețe matematică ale procedurilor la limită pentru spațiul continuu.


Principiul de corespondență[modificare | modificare sursă]

Ecuația lui Schrödinger satisface principiul de corespondență. În limita micilor lungimi de undă ale pachetelor de undă sunt reproduse legile lui Newton. Acest lucru este ușor de văzut din echivalența cu matricea mecanică.

Toți operatorii din formalismul lui Heisenberg se supun analogiei cuantice a ecuației lui Hamilton:


{dA \over dt} = -i\hbar (AH - HA)

Astfel că, în particular, ecuațiile de mișcare pentru operatorii X și P sunt, în reprezentarea Schrödinger:


{dX \over dt} = {P\over m}

{dP \over dt} = - {\partial V \over \partial x}

Interpretarea acestei ecuații este aceea că: dă rata de schimb cu timpul a elementelor matricei dintre două stări, când stările se schimbă în timp. Luându-se valoarea cunoscută a oricărei stări se poate arăta că legea lui Newton este verificată nu numai în medie, dar și exact, pentru cantitățile:


\langle X\rangle = \int_x \psi^*(x)\psi(x) x = \langle \psi|X|\psi \rangle 
\,

\langle P\rangle = \int_x \psi^*(x) i\hbar {\partial \psi \over \partial x}(x) = \langle \psi |P|\psi\rangle
\,


Relativitatea[modificare | modificare sursă]

Ecuatia lui Schrödinger nu ține cont de efectele relativiste; ca ecuație a undelor este invariantă la transformările lui Galilei, dar nu și la transformările Lorentz. Dar, în scopul includerii efectelor relativiste, reprezentarea fizică trebuie modificată.

Relația relativistă masă-energie este folosită în ecuația Klein–Gordon:


E^2 = P^2 c^2 + m^2 c^4
\,

pentru a se obține ecuația diferențială:


- \hbar^2{\partial^2 \over \partial t^2}\psi =  - c^2 \hbar^2\nabla^2 \psi + c^4 m^2 \psi
\,

care este o ecuație invariantă relativist, dar de ordinul doi în \psi\,\!, astfel că nu poate fi o ecuație pentru stări cuantice. Această ecuație are proprietatea că există soluții cu frecvente atât pozitive cât și negative, iar soluția unei unde plane este dată de relația:


\hbar^2\omega^2 - \hbar^2 c^2 k^2 = m^2 c^4
\,

care are într-adevăr doua soluții, o soluție având frecvența pozitivă iar cealaltă negativă. Acest lucru este un dezastru pentru mecanica cunatică, deoarece arată că energia nu are limită inferioară.

O încercare mai sofisticată de a rezolva această problemă, este utilizarea unei ecuație de undă de ordinul întâi, ecuația lui Dirac, dar din nou se obțin soluții cu energie negativă. Deci, în scopul rezolvării problemei, este esențial să folosim reprezentarea multiparticulă, și să considerăm ecuația de undă ca o ecuație de mișcare a unui câmp cuantic, și nu ca o funcție de undă.

Motivul este că relativitatea este incompatibilă cu reprezentarea unei singure particule. Particulele relativiste nu pot fi localizate într-o mică regiune, fără ca numărul de particule să devină nedefinit. Când o particulă este localizată într-o zonă de lungime L, impulsul devine incert cu o valoare aproximativ egală cu raportul h/L, datorită principiului de incertitudine. Astfel energia devine incertă cu raportul hc/L când |p| este suficient de mare, astfel că, masa particulei poate fi neglijată. Această incertitudine în energie este egală cu masa energetică a particulei când:

L = {\hbar \over mc}\,

iar acest lucru este numit lungimea de undă Compton. Sub acestă lungime este imposibil să fie localizată o particulă și de a fi siguri că rămâne o singură particulă, deoarece incertitudinea în energie este suficient de mare pentru a produce mai multe particule din vid prin același mecanism care localizează particula originală.

Dar există o altă cale a mecanicii cuantice relativiste care ne permite să urmărim drumul unei singure particule, și a fost descoperit în formularea integralei de drum. Dacă căile de integrare din integrala de drum includ căi pe care particula se mișcă înainte și înapoi în timp, ca o funcție a propriului timp, este posibil să se construiască o funcție de undă pur pozitivă în frecvență pentru o particulă relativistă. Această construcție este atrăgătoare, deoarece ecuația de mișcare pentru funcția de undă este exact ecuația relativistă a ecuației undelor, dar cu o constrângere globală care separă solutiile în frecvență pozitive de cele negative. Soluția în frecventă pozitivă călătorește înainte în timp, soluția în frecventă negativă călătorește înapoi în timp, astfel că, amândouă sunt continue analitic printr-o funcție de corelare a câmpului statistic, care este de asemenea reprezentată de suma tuturor drumurilor. Dar în spațiul real, ele sunt probabilitatea de amplitudine pentru o particulă care călătorește între două puncte și pot fi folosite pentru a genera interacțiunea particulelor dintr-un punct de separare și alipirea lor la cadrul de lucru. Punctul de vedere al particulelor relativiste se datorează lui Richard Feynman.

Metoda lui Feynman construiește de asemenea o teorie a câmpului cuantificat, dar din punctul de vedere al particulelor. În acestă teorie, ecuația de mișcare a câmpului poate fi interpretată ca ecuația de mișcare pentru o funcție de undă, dar atenție, funcția de undă este definită global și în același fel legată de timpul propriu al particulei. Noțiunea de localizare a particulei este de asemenea delicată – localizarea unei particule prin integrala de drum relativistă corespunde unei stări produse particulei când operatorul câmpului local acționează în vid, iar starea care este produsă depinde de alegerea variabilelor câmpului.


Soluții[modificare | modificare sursă]

Câteva technici generale sunt:

În câteva cazuri speciale, se folosesc metode speciale:


Ecuația liberă Schrödinger[modificare | modificare sursă]

Când potențialul este zero, ecuația lui Schrödinger este o ecuație liniară cu coeficienți constanți:

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}\nabla^2\Psi

Soluția \Psi(x,\,t) pentru orice condiții inițiale \psi_0(x)\, poate fi găsită prin transformata Fourier. Deoarece coeficienții sunt constanți, o undă inițială plană rămâne tot o undă plană. Numai coeficienții se schimbă. Fie:


\Psi(x,\,t) = A(t) e^{i k x}
\,

Substituind în ecuație, obținem:


{dA(t) \over dt} = -{i\hbar k^2 \over 2m} A(t)
\,

Astfel că A este de asemenea oscilantă în timp:


A(t) = A e^{- i \hbar{k^2 \over 2m} t}
\,

iar soluția este:


\Psi(x,\,t) = A e^{i k x - i \omega t}
\,

unde \omega=\hbar k^2/2m, este o nouă reformulare a relației lui DeBroglie.

Pentru a găsi soluția generală, scriem condiția inițială ca o sumă de unde plane luând tranformata lor Fourier:


\psi_0(x) = \int_k \psi(k) e^{ikx}
\,

Ecuația este liniară, deci fiecare undă plană evoluează independent și obținem:


\Psi(x,\,t) = \int_k \psi(k)e^{-i\omega t} e^{ikx}
\,

care este soluția generală.


Pachetul de unde Gaussian[modificare | modificare sursă]

Un exemplu ușor și instructiv este pachetul de unde Gaussian.


\psi_0(x) = e^{-x^2 / 2a}
\,

unde a este un număr real pozitiv, pătratul lațimii pachetului de unde. Funcția de undă normalizată este:


\langle \psi|\psi\rangle = \int_x \psi^* \psi = \sqrt{\pi a}

Transformata Fourier este din nou o funcție Gauss în ceea ce privește numărul de undă k:


\psi_0(k) = (2\pi a)^{d/2} e^{- a k^2/2}
\,

Cu convenția fizică de adăugare a factorului 2\pi la variabila k din transformata Fourier, obținem:


\psi_0(x) = \int_k \psi_0(k) e^{-ikx} = \int {d^dk \over (2\pi)^d} \psi_0(k) e^{-ikx}

Separat, fiecare undă îsi rotește doar faza în timp, astfel că, soluția transformatei Fourier dependentă de timp este:


\psi_t(k) = (2\pi a)^{d/2} e^{- a { k^2\over 2} - it {k^2\over 2m}} = (2\pi a)^{d/2} e^{-(a+it/m){k^2\over 2}}
\,

Transformata Fourier inversă este tot o funcție Gauss, dar parametrul a devine complex, existând un factor global de normalizare.


\psi_t(x) = \left({a \over a + i t/m}\right)^{d/2} e^{- {x^2\over 2(a + i t/m)} }
\,

Ramura rădăcinii pătrate este determinată de continuitatea în timp, este de fapt valoarea cea mai apropiată de rădăcina pătrată pozitivă a lui a. Este convenabil să redefinim timpul pentru a absorbi pe m, înlocuind t/m cu t.

Integrala \psi\, peste întregul spațiu este un invariant, deoarece produsul scalar al lui \psi\, cu starea energetică zero este o funcție constantă în spațiu, fiind de fapt o undă cu lungimea de undă infinită. Pentru orice stare energetică cu funcția de undă \eta(x)\,, produsul scalar:


\langle \eta | \psi \rangle = \int_x \eta(x) \psi_t(x)
,

se modifică în timp într-un mod simplu: faza se rotește cu o frecvență determinată de energia lui \eta\,. Când \eta\, are energia zero, precum unda cu lungimea de undă infinită, faza nu se schimbă deloc.

Suma pătratelor modulelor lui \psi\, este de asemenea invariantă, fiind o referire la conservarea probabilității. În mod explicit în unidimensional:


|\psi|^2 = \psi\psi^* = {a \over \sqrt{a^2+t^2} } e^{-{x^2 a \over a^2 + t^2}}

care dă norma:


\int |\psi|^2 = \sqrt{\pi a}

Lățimea Gaussiană este o cantitate interesantă și poate fi citită sub forma |\psi^2|\,:


\sqrt{a^2 + t^2 \over a}
\,.

Lățimea eventual crește liniar în timp ca \scriptstyle t/\sqrt{a}. Acest lucru se numește împrăștierea pachetului de undă, și indiferent cât de îngustă este funcția de undă inițială, o undă Schrödinger va umple în cele din urmă tot spațiul. Creșterea liniară este reflectarea incertitudinii impulsului: pachetul de unde se limitează la o lățime îngustă \scriptstyle \sqrt{a} și astfel are un impuls care este incert cu o cantitate reciprocă \scriptstyle 1/\sqrt{a}, cu împrăștierea în viteză de \scriptstyle 1/m\sqrt{a}, și de asemenea cu împrăștierea în pozițiile viitoare prin \scriptstyle t/m\sqrt{a}, unde factorul m este factorul definit mai sus.


Invarianța Galileană[modificare | modificare sursă]

Grupul transformărilor lui Galilei sunt transformări care privesc sistemul din punctul de vedere al unui observator care se mișcă cu viteza -v. O transformare trebuie să schimbe proprietățile fizice ale unui pachet de unde în același fel ca în mecanica clasică:


p'= p + mv
\,

x'= x + vt
\,

Astfel că, factorul de fază a unei unde plane libere Schrödinger:


p x - E t = (p' - mv)(x' - vt) - {(p'-mv)^2\over 2m} t = p' x' + E' t + m v x - {mv^2\over 2}t
\,

este, în sistemul transformat, diferit prin-o fază care depinde numai de x și t, dar nu și de p.

O suprapunere arbitrară de unde plane cu valori diferite pentru p este aceeași suprapunere de unde plane transformate, făcând abstracție de un factor dependent de fază, în funcție de (x,t). Deci, orice soluție a ecuației libere Schrödinger \psi_t(x)\,, poate fi transformată în altă soluție:


\psi'_t(x) = \psi_t(x + vt) e^{ i mv x - i {mv^2\over 2}t}
\,

Transformând o funcție de undă constantă se obține o undă plană. Mai general, transformând o undă plană:


\psi_t(x) = e^{ipx - i {p^2\over 2m} t}
\,

obținem o undă transformată de forma:


\psi'_t(x) = e^{ i p(x + vt) - i{p^2\over 2m}t + imv x - i {mv^2\over 2}t} = e^{i(p+mv)x + i {(p+mv)^2\over 2m}t }
\,

Transformând împrăștierea Gaussiană a pachetului de unde:


\psi_t(x) = {1\over \sqrt{a+it/m}} e^{ - {x^2\over 2a} }
\,

producem o mișcare Gaussiană:


\psi_t(x) = {1\over \sqrt{a + it/m}} e^{ - {(x + vt)^2 \over 2a} + i m v x - i {mv^2\over 2} t } 
\,

care se împrăștie în același fel ca pachetul de unde inițial.


Propagator liber[modificare | modificare sursă]

Lățimea minimă a pachetului de unde Gaussian se numește propagator K. Pentru alte ecuații diferențiale, aceasta este numită uneori funcția lui Green, dar în mecanica cuantică, tradițional, se rezervă denumirea de funcție Green pentru transformata Fourier în funcție de timp a lui K. Când a este o cantitate infinitezimală \epsilon, condiția inițială Gaussiană, este recalibrată astfel încât integrala ei:


\psi_0(x) = {1\over \sqrt{2\pi \epsilon} } e^{-{x^2\over 2\epsilon}}
\,

devine o funcție delta, iar evoluția ei în timp dă propagatorul:


K_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi (i t + \epsilon)}} e^{ - x^2 \over 2it+\epsilon }
\,

De notat că, un pachet de unde inițial foarte mic devine instantaneu infinit de mare, cu o fază care oscilează foarte rapid la valori mari ale lui x. Acest lucru pare ciudat – soluția care inițial era concentrată într-un punct, câteva momente mai târziu să se împrăștie în întregul spațiu, dar acest lucru este o reflectare a incertitudinii impulsului în localizarea particulei. De notat că, norma funcției de undă este infinită, dar acest lucru este corect deoarece și pătratul funcției delta este divergent.

Factorul \epsilon este o cantitate infinitezimală care există pentru a fi siguri că integrarea peste K este bine condiționaltă. La limită când \epsilon tinde spre zero, K devine pur oscilator, integrala lui K nefiind absolut convergentă. În restul acestei secțiuni, aceasta va fi setată la zero, dar pentru ca toate integrările asupra stărilor intermediare să fie bine condiționate, limita \scriptstyle \epsilon\rightarrow 0, trebuie luată doar după calculul starii finale.

Propagatorul este de fapt amplitudinea necesară pentru atingerea punctului x la timpul t, când se pornește din origine. Datorită invarianței translației, amplitudinea de a ajunge într-un punct x când se porneste din punctul y este aceeași funcție, doar translatată:


K_t(x,y) = K_t(x-y) = {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{-i(x-y)^2 \over 2t} 
\,

Când t este mic, propagatorul converge către o funcție delta:


\lim_{t\rightarrow 0} K_t(x-y) = \delta(x-y)

dar numai în sensul distribuțiilor. Integrala acestei cantități multiplicată cu o funcție test diferențiabilă arbitrară dă valoarea funcției test în zero. Pentru a vedea acest lucru, să notăm că, integrala peste întregul spațiu al lui K este egală cu 1, pentru orice timp t:


\int_x K_t(x) = 1
\,

deoarece această integrală este produsul scalar al lui K cu o funcție de undă uniformă. Dar factorul de fază de la exponent are derivata spațială diferită de zero cu excepția originii, astfel încât, atunci când timpul este mic există o rapidă anulare a fazei peste tot cu excepția unui punct. Acest lucru este riguros adevărat când limita \epsilon\rightarrow zero, este luată după ce se fac toate calculele.

Deci, nucleul propagatorului este evoluția în timp a funcției delta, continuă și convergentă catre funcția inițială delta la timpi mici. Dacă funcția de undă inițială este o țintă infinit îngustă în poziția x_0\,, atunci:


\psi_0(x) = \delta(x - x_0)
\,

devine o undă oscilatoare:


\psi_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi i t}} e^{ -i (x-x_0) ^2 /2t}
\,

Deoarece fiecare funcție poate fi scrisă ca o sumă de ținte înguste:


\psi_0(x) = \int_y \psi_0(y) \delta(x-y)
\,

evoluția în timp a fiecărei funcții este determinată de nucleul propagatorului:


\psi_t(x) = \int_y \psi_0(x) {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{-i (x-x_0)^2 / 2t}
\,

Iar acesta este alt mod de exprimare a soluției generale. Interpretarea acestei expresii este aceea că, amplitudinea unei particule de a se găsi în punctul x la timpul t este amplitudinea de start din x_0\, înmulțită cu amplitudinea de trecere de la x_0\, la x, sumarea făcându-se pentru toate punctele de start posibile. Cu alte cuvinte, este convoluția nucleului K cu condiții inițiale.


\psi_t = K * \psi_0
\,

Deoarece amplitudinea de a călătorii de la x la y, dupa un timp t+t'\,, poate fi considerată în doi pași, propagatorul se subordonează identității:


\int_y K(x-y;t)K(y-z;t') = K(x-z;t+t')
\,

care poate fi interpretată în felul următor: amplitudinea de a călătorii de la x la z în timpul t+t'\, este este suma amplitudinii de a călătorii de la x la y în timpul t multiplicată cu amplitudinea de a călătorii de la y la z în timpul t’, sumarea făcându-se peste toate stările intermediare y posibile. Aceasta este o proprietate a unui sistem cuantic arbitrar, iar prin subdivizarea timpului în multe segmente, permite ca evoluția în timp sa fie exprimată ca o integrală de drum.


Prelungirea analitică a difuziunii[modificare | modificare sursă]

Împrăștiarea pachetului de unde în mecanica cuantică este direct legat de împrăștiarea probabilității de densitate la difuziune. Pentru o particulă care are o traiectorie aleatoare, funcția probabilității de densitate din orice punct satisface ecuația difuziunii:


{\partial \over \partial t} \rho = {1\over 2} {\partial^2 \over \partial x^2 } \rho

unde factorul 2 este ales doar pentru comoditate și poate fi eliminat prin recalibrarea timpului sau spațiului.

O soluție a acestei ecuații este împrăștierea gaussiană:


\rho_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi t}} e^{-x^2 \over 2t}

și deoarece integrala \rho_t este constantă, iar lățimea devine îngustă la timpi mici, funcția tinde spre funcția delta la t = 0:


\lim_{t\rightarrow 0} \rho_t(x) = \delta(x)
\,

dar numai în sensul de distribuție, astfel că:


\lim_{t\rightarrow 0} \int_x f(x) \rho_t(x) = f(0)
\,

pentru orice funcție test netedă f.

Împrăștierea gaussiană este nucleul de propagare pentru ecuația de difuziune și se subordonează identității de convoluție:


K_{t+t'} = K_{t}*K_{t'}
\,

care premite ca difuziunea să fie exprimată ca o integrală de drum. Propagatorul este exponențiala unui operator H:


K_t(x) = e^{-tH}
\,

care este operatorul de difuziune infinitezimal:


H= -{\nabla^2\over 2}
\,

O matrice are doi indici care în spațiul continuu este funcție de x și x’. În acest caz, datorită invarianței translației, elementele matricii K depind numai de diferența de poziție, iar un abuz convenabil de notație este să se refere la operator (elementele matricei) și la diferența de funcție prin același nume:


K_t(x,x') = K_t(x-x')
\,

Invarianța translației înseamnă că multiplicarea matricii continue:


C(x,x'') = \int_{x'} A(x,x')B(x',x'')
\,

este într-adevăr o convoluție:


C(\Delta) = C(x-x'') = \int_{x'} A(x-x') B(x'-x'') = \int_{y} A(\Delta-y)B(y)
\,

Exponențiala poate fi definită într-un interval de timp t, care include valori complexe, atâta timp cât integrala asupra nucleului de propagare rămâne convergentă.


K_z(x) = e^{-zH}
\,

Atâta timp cât partea reală a lui z este pozitivă, pentru valori mare ale lui x, K descrește exponențial, iar integrala peste K este absolut convergentă.

Propagatorul Schrödinger este limita acestei expresii când z se apropie de axa imaginară, adică:


K_t^{\rm Schr} = K_{it+\epsilon} = e^{-(it+\epsilon)H}
\,

și acest lucru dă o explicație mai abstractă pentru evoluția în timp a împrăștierii gaussiane. Din identitatea fundamentală exponențială, sau integrala de drum, formula:


K_z * K_{z'} = K_{z+z'}
\,

este valabilă pentru toate valorile complexe z, pentru care integralele sunt absolut convergente, încât operatorii sunt bine definiți.

Astfel că, evoluția cuantică începută de la împrăștierea gaussiană, care este nucleul K al difuziunii:


\psi_0(x) = K_a(x) = K_a * \delta(x)
\,

dă starea evoluției în timp:


\psi_t = K_{it} * K_a = K_{a+it}.
\,

Acest lucru expică forma difuzivă a împrăștierii gaussiene:


\psi_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi (a+it)} } e^{- {x^2\over 2(a+it)} }.
\,


Principiul variational[modificare | modificare sursă]

Principiul variational afirmă că pentru orice matrice A hermitiană, vectorul propriu corespunzând celei mai mici valori proprii minimizează cantitatea:


\langle v,Av \rangle  = \sum_{ij} A_{ij} v^*_i v_j
\,

pe sfera unitate <v,v>=1. Așa cum rezultă din metoda multiplicatorilor Lagrange, gradientul minim al unei funcții este paralel cu gradientul de constrângere:


{\partial\over \partial v_i} \langle v,Av\rangle  = \lambda {\partial \over \partial v_i} \langle v,v\rangle
\,

care este condiția pentru valorii proprii:


\sum_{j} A_{ij} v_j = \lambda v_i
\,

astfel că, valorile extreme ale formei pătratice A sunt valorile proprii ale lui A, iar valoarea funcției în punctele de extrem sunt chiar valorile proprii corespunzătoare:


\langle v,Av\rangle = \lambda\langle v,v\rangle = \lambda.
\,

Când matricea hermitiană este Hamiltonianul, valoarea minimă reprezintă energia minimă.

În spațiul tuturor funcțiilor de undă, sfera unitate este spațiul tuturor funcțiilor de undă normalizate \psi\,, minimizând stările fundamentale:


\langle \psi | H |\psi \rangle = \int \psi^* H \psi = \int \psi^* (-\nabla^2 + V(x)) \psi 
\,

sau, după o integrare prin părți, devine:


\langle \psi | H |\psi \rangle = \int |\nabla \psi|^2 + V(x) |\psi|^2.
\,

Toate punctele staționare sunt complex conjugate deoarece integrantul este real. Pentru că punctele staționare sunt valori proprii, orice combinație liniară dă un punct staționar, iar părțile reale și imaginare sunt ambele puncte staționare.


Potențialul și starea fundamentală[modificare | modificare sursă]

Pentru o particulă aflată într-un potențial pozitiv definit, starea fundamentală a funcției de undă este reală și pozitivă, și are o interpretare duală ca probabilitate de densitate într-un proces de difuziune. Analogia dintre difuziune și mișcarea cuantică nerelativistă, descoperită și exploatată de Schrödinger, conduce la mai multe soluții exacte.

O funcție de undă pozitiv definită:


\psi = e^{-W(x)}
\,

este o soluție a ecuației lui Schrödinger independentă de timp cu m = 1 și având potențialul:


V(x) = {1\over 2} |\nabla W|^2 - {1\over 2} \nabla^2 W
\,

cu energia totală zero, W fiind logaritmul stării fundamentale al funcției de undă. Termenul care conține derivata secundă este de ordin superior în \hbar\, și ignorându-l obținem aproximația semi-clasică.

Forma stării fundamentale a funcției de undă este motivată de observația că acestă stare este probabilitatea Boltzmann pentru o problemă diferită, și anume, probabilitatea de a găsi o particulă cu energie liberă, care difuzează în spațiu, în diferite puncte date de W. În cazul în care difuziunea se supune echilibrului de detaliu, iar constanta de difuziune este peste tot la fel, ecuația Fokker Planck pentru acestă difuziune, este ecuația Schrödinger când parametrului timp i se permite să fie imaginar. Această prelungire analitică dă interpretarea duală a stărilor proprii - ca nivel energetic a unui sistem cuantic, sau ca relaxare în timp a unei ecuații stohastice.


Oscilatorul armonic[modificare | modificare sursă]

W ar trebui să crească la infinit, astfel încât, funcția de undă să aibă o integrală finită. Cea mai simplă forma analitică este:


W(x) = \omega x^2
\,

cu constanta arbitrară \omega, care dă potențialul:


V(x) = {1\over 2} \omega^2 x^2 - {\omega \over 2}
\,

Acest potențial descrie un oscilator armonic cu starea fundamentală a funcției de undă:


\psi(x) = e^{-\omega x^2 }
\,

Energia totală este zero, dar potențialul este schimbat printr-o constantă. Energia stării fundamentale pentru un oscilator armonic neschimbat:


V(x) = {\omega x^2 \over 2}
\,

este o constantă aditivă:


E_0 = {a\over 2}
\,

care reprezintă punctul de energie zero a oscilatorului.


Potențialui Coulomb[modificare | modificare sursă]

O altă formă simplă dar folositoare este:


W(x) = 2a|x|
\,

unde W este proporțională cu coordonata radială. Aceasta este starea fundamentală a două potențiale diferite, în funcție de dimensiune. În unidimensional, potențialul corespunzător este singular în origine, unde are densitate diferită de zero:


V(x) = 2a^2 + a \delta(x)
\,

si, făcând abstacție de o variabilă recalibrată, aceasta este starea energetică cea mai joasă a unui potențial al funcției delta, la care se adaugă o energie de stare mărginită:


V(x) = a \delta(x)
\,

cu energia de stare fundamentală:


E_0 = - 2a^2
\,

având funcția de undă a stării fundamentale:


\psi = e^{-2a|x|}
\,

În spații multidimensionale, aceeași forma dă potentialul:


V(x) = 2a^2+ { 2a (d-1) \over r};
\,

care poate fi identificat ca legea atracției lui Coulomb, abstracție făcând de o constantă aditivă care este energia stării fundamentale. Acesta este superpotențialul care descrie nivelul energetic fundamental al atomului de hidrogen, o dată ce masa este reintrodusă în analiza dimensională:


\psi_0 = e^{-r/r_0}
\,

unde r_0 este raza Bohr, cu energia:


E_0 = - {2a\over d-1}
\,

Ansatz-ul


W(x) = a r + b \log(r)
\,

modifică potențialul Coulomb pentru a include termenul proporțional cu 1/r^2, fiind folositor la calculul momentului unghiular diferit de zero.


Formalismul Operațional[modificare | modificare sursă]

Notația Bra-ket[modificare | modificare sursă]

În formularea matematică a mecanicii cuantice, un sistem fizic este descris de un vector complex din spațiul Hilbert, de fapt o colecție a tuturor funcțiilor de undă normalizate posibile. Funcția de undă este doar un nume alternativ pentru un vector de amplitudine complexă, iar pentru cazul reprezentării poziției unei singure particule este o undă în sensul uzual, de fapt o undă în timp și spațiu. Pentru sisteme mai complexe, este o undă într-un spațiu al tuturor lumilor posibile. Doi vectori care sunt diferiți doar printr-o constantă, sau două funcții de undă care diferă printr-o constantă, reprezintă aceeași stare fizică.

Ca vector, funcția de undă poate fi scrisă în mai multe feluri:

1. Ca un vector abstract ket:
|\psi\rangle
2. Ca o listă de numere complexe, componente relative la o listă discretă a unei baze de vectori normalizați |\eta_i\rangle:
 c_i = \langle \eta_i |\psi \rangle
3. Ca o superpoziționare continuă a unei baze de vectori nenormalizați, precum starea poziției |x\rangle:
 |\psi\rangle = \int_x \psi(x) |x dx\rangle

Demarcația dintre baza continuă și cea discretă poate fi acoperită prin limitarea argumentelor. Cele două pot fi formal unificate considerându-le pe fiecare ca o măsură pe o linie reală.

În cea mai abstractă notație, ecuația Schrödinger se scrie:


i\hbar {d\over dt} |\psi\rangle  = H |\psi\rangle

care spune că funcția de undă evoluează liniar în timp și numește operatorul liniar, care dă derivata cu timpul, hamiltonianul H. În termenii listei discrete a coeficienților avem:


i\hbar {d\over dt} C_i = \sum_j H_{ij} C_j

care doar reafirmă că evoluția în timp este liniară, deoarece hamiltonianul acționează doar prin multiplicarea matricii.

Într-o reprezentare continuă hamiltonianul este un operator liniar, care acționează printr-o versiune continuă a multiplicării matricii:


\langle x| i\hbar {d\over dt} |\psi\rangle = \langle x|H|\psi\rangle = \hat{H} \psi (x)

Complex conjugata este:


-i\hbar {d\over dt} \langle \psi | = \langle \psi | H^\dagger

Pentru ca evoluția în timp să fie unitară, pentru a se păstra produsul scalar, derivata cu timpul a produsului scalar trebuie să fie zero:


i\hbar {d\over dt} \langle \psi | \psi \rangle = \langle\psi | H | \psi\rangle- \langle \psi |H^\dagger |\psi\rangle = 0

pentru o stare arbitrară |\psi\rangle, care cere ca H să fie hermitiană. Într-o reprezentare discretă acest lucru înseamnă că H_{ij}= H_{ji}\,. Când H este continuu, devine autoadjunct, ceea ce înseamnă că, H cere suplimentar stărilor normalizate să nu se amestece cu stări care încalcă condițiile la limită, sau care sunt nenormalizate.

Soluția formală a ecuației este matricea exponențială (în unități naturale):


|\psi(t)\rangle = e^{-i H t} |\psi(0)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle

Pentru operatorul hamiltonian independent de timp \hat H, există un set al stării cuantice \left|\psi_n\right\rang cunoscut ca stare proprie energetică, căruia îi corespunde numărul real E_n care satisface ecuația de valori proprii:

 H |\psi_n \rangle = E_n |\psi_n \rangle \,

Aceasta este ecuația lui Schrödinger independentă de timp.

În cazul unei singure particule hamiltonianul este dat de următorul operator liniar (în unități naturale):


H = -{\nabla^2 \over 2m} + V(x) = {p^2\over 2m} + V(x)

care este un operator autoadjunct când V nu este singular și nu crește prea repede. Operatorul autoadjunct are proprietatea că valorile lui proprii sunt reale în orice bază, iar vectorii proprii formează un set complet, indiferent dacă starea este discretă sau continuă.

Exprimată într-o bază a lui H de vectori proprii, ecuația lui Schrödinger devine trivială:

\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi_n \left(t\right) \right\rangle = E_n \left|\psi_n\left(t\right)\right\rang.

ceea ce înseamnă că, fiecare stare proprie energetică este multiplicată printr-o fază complexă:

 \left| \psi \left(t\right) \right\rangle = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et / \hbar} \left|\psi\left(0\right)\right\rang.

care arată ce înseamnă matricea exponențială – evoluția în timp acționează ca rotație a funcțiilor proprii ale lui H.

Când H este exprimat ca o matrice pentru funcțiile de undă dintr-o bază energetică discretă, avem:


i\hbar {d\over dt} C_i = E_i C_i 
\,

astfel că:


C_n(t) = e^{-iE_n t} C_n(0)
\,

Proprietățile fizice ale lui C sunt obținute prin acțiunea operatorului asupra matricilor. Redefinind baza astfel încât să se rotească cu timpul, matricea devine dependentă de timp, ceea ce se numește reprezentarea Heisenberg.

Invarianța Galileană[modificare | modificare sursă]

Simetria galileană cere ca H(p) să fie pătratică în p în ambele formalisme hemiltoniene, clasic și cunatic. Pentru ca transformarea galileană să producă un factor de fază p independent, px – Ht trebuie să aibă o formă specială – astfel încât translația în p trebuie să fie compensată printr-o schimbare în H. Acest lucru este adevărat numai când H are formă pătratică.

Generatorul infinitezimal al mărimilor în cazul clasic și cuantic este:


B = \sum_i m_i x_i(t) - t \sum_i p_i
\,

sumarea făcându-se pentru toate particulele, iar B, x și p sunt vectori.

Parantezele Poisson ale lui B\cdot v\,, cu x și p mărimi infinitezimale, iar v mărimea infinitezimală a vectorului viteză, sunt:


[B\cdot v ,x_i] =  vt
\,

[B\cdot v ,p_i] = v m_i
\,

Iterarea acestor relații este simplă, deoarece la acestea se adaugă o sumă constantă la fiecare pas. Prin iterare, cantitatea dV crește incremental până la valoarea finită V:


x \rightarrow x_i + Vt
\,

p \rightarrow p_i + m_i V
\,

B divizat prin masa totală este poziția centrului maselor minus timpul înmulțit cu centrul de viteze al maselor:


B = M X_\mathrm{cm} - t P_\mathrm{cm}
\,

Cu alte cuvinte, B/M este poziția centrul maselor la timpul zero.

Afirmația că B nu se schimbă cu timpul reprezintă teorema centrului de mase. Pentru un sistem galilean invariant, centrul maselor se mișcă cu o viteză constantă, iar energia cinetică totală este suma energiei cinetice a centrelor de mase plus energia cinetică măsurată față de centrul maselor.

Deoarece B este dependent în mod explicit de timp, H comută cu B, scriindu-se:


{dB\over dt} = [H,B] + {\partial B \over \partial t} = 0
\,

dând astfel legea transformarii pentru H sub un impuls infinitezimal:


[B\cdot v,H] = - P_\mathrm{cm} v
\,

Interpretarea acestei formule este că, schimbarea lui H sub un impuls infinitezimal este în întregime dat de schimbarea energiei cinetice a centrului de mase, care este produsul scalar al impulsului total având viteza infinitezimală v.

Cele două cantități (H,P) reprezintă un grup Galilean cu sarcina centrală M, în care numai H și P sunt funcții clasice în spațiul fazelor sau operatori mecanici cuantici, în timp ce M este un parametru. Legea transformărilor pentru viteza infinitezimală:


P' = P + M v
\,

H' = H - P\dot v
\,

poate fi iterată ca mai sus – P merge de la P la P+MV cu incrementul infinitezimal v, în timp ce H se schimbă la fiecare pas cu cantitate liniară proporțională cu P. Valoarea finală a lui H este schimbată de valoarea lui P cu jumătatea dintre valoarea de start și cea finală.


H' = H - (P+{MV\over 2})\cdot V = H - P\cdot V - {MV^2\over 2}.
\,

Factorul proporțional cu sarcina centrală M este o funcție de undă fazică suplimentară.

Dând o soluție multiparticulă dependentă de timp:


\psi_t(x_1,x_2...,x_n)
\,

cu un potențial care depinde numai de pozițiile relative ale particulelor, putem folosi această soluție pentru a genera impulsul soluție:


\psi'_t = \psi_t(x_1 + v t, ..., x_2 + vt) e^{i P_\mathrm{cm}\cdot X_\mathrm{cm} - {Mv_\mathrm{cm}^2\over 2}t}.
\,

Pentru problema de undă staționară, mișcarea centrului de masă doar adaugă o fază generală. Când este rezolvată pentru nivelul energetic al sistemului multiparticule, invarianța galileană permite ca mișcarea centrului de masă să fie ignorată.


Vezi și[modificare | modificare sursă]


Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Schrödinger, Erwin (1 decembrie 1926). „An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules” (PDF). Physical Review 28 (6): 1049–1070. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf. Accesat la 22 iunie 2009. 
  2. ^ așa-numita groapă de potențial, sau, în engleză, potential well
  3. ^ Making of the Atomic Bomb by Richard Rhodes, Touchstone 1986 ISBN 0-671-44133-7
  4. ^ Schrödinger, E. (1926). „Quantisierung als Eigenwertproblem; von Erwin Schrödinger”. Annalen der Physik, (Leipzig): 361-377. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k153811.image.langFR.f373.pagination. 
  5. ^ Schrödinger: Life and Thought by Walter John Moore, Cambridge University Press 1992 ISBN 0-521-43767-9, page 219 (hardback version)
  6. ^ Schrödinger: Life and Thought by Walter John Moore, Cambridge University Press 1992 ISBN 0-521-43767-9, page 220
  7. ^ În lucrarea Schrödinger: Life and Thought, de Walter John Moore, Cambridge University Press 1992 ISBN 0-521-43767-9, pagina 479 (ediția cu copertă de carton) se arată în mod clar că Schrödinger s-a opus așa-numitei interpretări de la Copenhaga, cum mai este cunoscută ideea că soluția ecuației Schrödinger ar avea vreo legătură cu probabilitatea electronului de a se găsi într-o anumită regiune a atomului (numele îi vine de la faptul că principalul ei promotor, Niels Bohr, locuia la Copenhaga). În acest sens, Schrödinger îi scrie lui Max Born, în ultimul lui an de viață, exprimându-și dezacordul față de interpretarea de la Copenhaga. Vezi și pagina 220.


Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en David J. Griffiths (2004). Introduction to Quantum Mechanics (ed. 2nd). Benjamin Cummings 
  • en Richard Liboff (2002). Introductory Quantum Mechanics (ed. 4th). Addison Wesley 
  • en David Halliday (2007). Fundamentals of Physics (ed. 8th). Wiley 


  • en Walter John Moore (1992). Schrödinger: Life and Thought. Cambridge University Press 
  • en Schrödinger, Erwin (decembrie 1926). „An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules”. Phys. Rev. 28 (6) 28: 1049–1070. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. 
  • ro A. N. Tihonov, A. A. Samarski Ecuațiile fizicii matematice (traducere din limba rusă), Editura Tehnică, 1956

Legături externe[modificare | modificare sursă]