Inegalitatea lui Minkowski

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În analiza matematică, inegalitatea lui Minkowski reprezintă o generalizare a inegalității triunghiului și sugerează faptul că spațiile Lp sunt spații vectoriale normate.

Poartă numele matematicianului Hermann Minkowski.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Propoziție. Fie    și    Atunci:

dacă   

sau:

dacă   și   

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

1) Fie    Cazul când    sau    fiind evident, se presupune    și    Rezultă:

Însumând după    și folosind inegalitatea lui Hölder pentru    se obține succesiv:

Se simplifică prin    și se ține seama că    de unde rezultă:

Înlocuind    prin    se obține egalitatea de demonstrat.

2) Fie    Deoarece    inegalitatea (3) devine egalitate și raționamentul se continuă în mod similar.

Caz particular[modificare | modificare sursă]

unde