Conjugată complexă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search
Reprezentarea geometrică a lui şi a conjugatei sale în planul complex.

În matematică, conjugata complexă a unui număr complex se obține prin schimbarea semnului părții imaginare. În consecință, conjugatul unui număr complex de forma

(în care și sunt numere reale) este

Conjugata complexă este de obicei notată în matematică prin notația . Aici s-a notat cu pentru a se evita confuzia cu notația pentru conjugata transpusă a unei matrici (despre care se poate afirma că este o generalizare a conjugatei complexe). De remarcat că dacă un număr complex este notat printr-o matrice , notația rămâne aceeași.

Spre exemplu:

De obicei, numerele complexe sunt privite ca puncte în planul numerelor complexe cu coordonate carteziene. Axa reprezintă axa ce conține partea reală a numărului, iar axa reprezintă numărul de multiplicări ale numărului . Sub această privire, conjugata complexă corespunde reflecției față de axa x.

În coordonate polare, conjugata lui este . Acest lucru se poate verifica foarte ușor cu formula lui Euler.

Perechile de conjugate complexe sunt importante pentru că unitatea imaginară este de nedeosebit față de inversul său aditiv sau multiplicativ , datorită faptului că ambele satisfac definiția părții imaginare: . Deci, în condiții "normale", dacă un număr complex este soluția unei probleme, atunci și conjugata sa este soluție a problemei, precum în cazul unor soluții complexe pentru ecuațiile pătratice cu coeficienți reali.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Aceste proprietăți se aplică tuturor numerelor complexe și , dacă nu se precizează altceva.

dacă este diferit de zero
dacă și numai dacă este real
pentru orice număr întreg
dacă este diferit de zero

Această formulă este metoda folosită pentru a calcula inversul unui număr complex, dacă se dau coordonatele sale dreptunghiulare.

dacă este diferit de zero

În general, dacă este o funcție polimorfică ale cărei singure restricții asupra numerelor reale este să fie reale, și este definit, atunci

Prin urmare, dacă este un polinom cu coeficienți reali și , atunci și . Deci, rădăcinile ne-reale ale polinoamelor reale apar sub forma de conjugate complexe.

Funcția din to is continuous. Even though it appears to be a "tame" well-behaved function, it is not holomorphic; it reverses orientation whereas holomorphic functions locally preserve orientation. It is bijective and compatible with the arithmetical operations, and hence is a field automorphism. As it keeps the real numbers fixed, it is an element of the Galois group of the field extension . This Galois group has only two elements: and the identity on . Thus the only two field automorphisms of that leave the real numbers fixed are the identity map and complex conjugation.

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Prin transpunerea conjugatei transpuse (sau adjunctei) unei matrice complexe se generalizează conceptul de conjugată complexă. Chiar și mai general este conceptul de operatori disjuncți pentru operatori ai unui spațiu Hilbertian complex (posibil infinit dimensional). Toate acestea sunt grupate în operații * ale C*-algebra.

Se poate defini conjugata pentru o cuaternară sub forma: conjugata lui ca fiind .

De remarcat că toate aceste generalizări sunt multiplicative numai dacă factorii sunt inversați:

Pentru că înmulțirea numerelor complexe este comutativă, această schimbare a ordinii nu este necesară.

Există și conceptul abstract de conjugată pentru spații vectoriale al numerelor complexe. În acest context, orice transformare liniară (reală) care satisface

  1. , funcția de identitate pe ,
  2. , și
  3. pentru toate , ,

este numită conjugată complexă. One example of this notion is the conjugate transpose operation of complex matrices defined above. It should be remarked that on general complex vector spaces there is no canonical notion of complex conjugation.