n n sin(1/n )
1
0.841471
2
0.958851
...
10
0.998334
...
100
0.999983
Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n ) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.
Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice , fiind un caz particular al conceptului de limită .
Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită .
Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.
Pentru un șir de numere reale
{
x
n
|
n
∈
N
}
{\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}
Un număr real L se numește limita șirului x n
lim
n
→
∞
x
n
=
L
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}
dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |x n L | < ε. Un element
L
∈
M
{\displaystyle L\in M}
limita șirului și scriem:
lim
n
→
∞
x
n
=
L
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}
dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N , avem d (x n L ) < ε. Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
Dacă a este un număr real cu modul |a | < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a , atunci șirul a 1/n are limita 1. De asemenea:
lim
n
→
∞
1
n
p
=
0
, dacă
p
>
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{, dacă }}p>0}
lim
n
→
∞
a
n
=
0
, dacă
|
a
|
<
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{, dacă }}|a|<1}
lim
n
→
∞
n
1
n
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1}
lim
n
→
∞
a
1
n
=
1
, dacă
a
>
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{, dacă }}a>0}
Definiție .
Fie
(
f
n
)
n
{\displaystyle (f_{n})_{n}}
funcții ,
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
.
{\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .}
(
f
n
)
n
{\displaystyle (f_{n})_{n}}
punctual convergent pe
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f pentru
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
f
n
⟶
P
C
f
{\displaystyle f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f}
f
n
(
x
0
)
→
f
(
x
0
)
{\displaystyle f_{n}(x_{0})\to f(x_{0})}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∀
x
∈
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b].}
Definiție .
Un șir
(
f
n
)
n
{\displaystyle (f_{n})_{n}}
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
.
{\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .}
uniform convergent pe
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
către o funcție
f
:
[
a
,
b
]
→
R
.
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}
f
n
⟶
U
C
f
{\displaystyle f_{n}{\overset {UC}{\longrightarrow }}f}
∀
ε
>
0
∃
N
(
ε
)
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )}
natural astfel încât
∀
n
≥
N
(
ε
)
{\displaystyle \forall n\geq N(\varepsilon )}
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
,
{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ,}
∀
x
∈
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b].}
Teoremă .
(a) Un șir
(
f
n
)
n
{\displaystyle (f_{n})_{n}}
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }
f
n
∈
M
,
∀
n
≥
0
{\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {M}},\;\forall n\geq 0}
f
∈
M
{\displaystyle f\in {\mathcal {M}}}
lim
n
→
∞
‖
f
n
−
f
‖
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=0.}
(b) Orice șir de funcții
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
[
a
,
b
]
;
{\displaystyle [a,b];}
Fie
[
a
,
b
]
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle [a,b]=[0,1]}
f
n
(
x
)
=
x
n
,
n
≥
1.
{\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},\;n\geq 1.}
∀
x
∈
[
a
,
b
]
:
{\displaystyle \forall x\in [a,b]:}
lim
n
→
∞
=
{
0
,
d
a
c
a
x
∈
[
0
,
1
)
1
,
d
a
c
a
x
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}}}
adică
f
n
⟶
P
C
f
,
{\displaystyle f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f,}
f
(
x
)
=
{
0
,
d
a
c
a
x
∈
[
0
,
1
)
1
,
d
a
c
a
x
=
1
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}}}
Dar
‖
f
n
−
f
‖
=
sup
x
∈
[
0
,
1
)
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
=
max
(
sup
x
∈
[
0
,
1
)
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
,
f
n
(
1
)
−
f
(
1
)
|
)
=
max
(
sup
x
∈
[
0
,
1
)
x
n
,
0
)
=
1
,
{\displaystyle \|f_{n}-f\|=\sup _{x\in [0,1)}|f_{n}(x)-f(x)|=\max(\sup _{x\in [0,1)}f_{n}(x)-f(x),\;f_{n}(1)-f(1)|)=\max(\sup _{x\in [0,1)}x^{n},0)=1,\;}
lim
n
→
∞
‖
f
n
−
f
‖
=
1
≠
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=1\neq 0.}
f
n
{\displaystyle f_{n}}
P
C
,
{\displaystyle PC,}
U
C
{\displaystyle UC}
[
0
,
1
)
.
{\displaystyle [0,1).}
![{\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7e70507ba3782663933e66523815d6061bf75f)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3866b5191d61c0aad288de073fa36615c054e1df)
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4543a5d96cd9ebba6a6c6ae627e6a2b46a0dbd)
![{\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f98e29dd6e691983a9a4c597d60cab209d01d80)
![{\displaystyle [a,b];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ebaa8b0db0a311862746fef103fe046a51db80)
![{\displaystyle [a,b]=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de4d2b73008f49dd28f604a83a1e7423a8f7028)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b]:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593b259e9a356584de79fb6f278cb6cd29e8920d)
