Limită a unui șir

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
\lim_{n \to \infty} x_n=L,
dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |xnL| < ε.
Un element L\in M este numit limita șirului și scriem:
\lim_{n \to \infty} x_n = L,
dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, avem d(xn,L) < ε.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
  • Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
  • Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.

De asemenea:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{, dacă } p > 0

\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \hbox{, dacă } |a| < 1
\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{, dacă } a>0

Cazul șirurilor de funcții[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie  (f_n)_n un șir de funcții,  f_n:[a,b] \to \mathbb R. Se spune că șirul  (f_n)_n  este punctual convergent pe  [a,b] către f pentru  n \to \infty și se scrie  f_n \overset {PC}{\longrightarrow} f dacă  f_n(x_0) \to f(x_0) (în  \mathbb R ) pentru  \forall x \in [a, b].

Definiție. Un șir ( f_n)_n de funcții  f_n:[a,b] \to \mathbb R. se numește uniform convergent pe  [a, b] către o funcție  f:[a,b] \to \mathbb R. și se scrie  f_n \overset {UC}{\longrightarrow} f   dacă este îndeplinită următoarea condiție:

 \forall \varepsilon >0 \; \exists N(\varepsilon) natural astfel încât  \forall n \ge N(\varepsilon) să existe relația  |f_n(x) - f(x)|< \varepsilon, pentru  \forall x \in [a, b].

Teoremă.

(a) Un șir  (f_n)_n de funcții mărginite,  f_n: [a, b] \to \mathbb R (adică:  f_n \in \mathcal M, \; \forall n \ge 0 ) este uniform convergent către o funcție  f \in \mathcal M dacă și numai dacă  \lim_{n \to\infty} \| f_n -f \|=0.
(b) Orice șir de funcții  f_n: [a, b] \to \mathbb R uniform convergent pe  [a, b] este punctual convergent pe  [a, b]; reciproca este falsă.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Fie  [a,b]=[0,1] și  f_n (x)=x^n, \; n \ge 1. Evident  \forall x \in [a, b]:

 \lim_{n \to \infty} = \begin{cases} 0, & daca \; x \in [0,1) \\ 1, & daca \; x=1 \end{cases}

adică  f_n \overset {PC} {\longrightarrow}f, unde:

 f(x)= \begin{cases} 0, & daca \; x \in [0,1) \\ 1, & daca \; x=1 \end{cases}

Dar  \|f_n-f\| = \sup_{x \in [0, 1)} | f_n(x)-f(x)| = \max (\sup_{x \in [0,1)} f_n (x) - f(x), \; f_n(1)- f(1)|) = \max (\sup_{x \in [0,1)} x^n, 0) =1, \; deci  \lim_{n \to \infty} \| f_n-f \|=1 \neq 0. Așadar, șirul  f_n este  PC, dar nu este  UC pe  [0, 1).

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]