Serie Taylor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Seriile Taylor se apropie din ce în ce mai mult de funcţia corectă, cu cât creşte gradul. Această imagine arată şi aproximările Taylor, cu polinom de grad 1, 3, 5, 7, 9, 11 şi 13.

În matematică, o serie Taylor este o reprezentare a unei funcții ca o sumă infinită de termeni calculați din valorile derivatelor acelei funcții într-un punct. Poate fi privită ca limită a polinoamelor Taylor. Seriile Taylor au fost numite astfel după matematicianul englez Brook Taylor. Dacă seria folosește derivatele în zero, atunci ea se numește serie Maclaurin, denumită astfel după matematicianul scoțian Colin Maclaurin.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Seria Taylor a unei funcții reale sau complexe f care este indefinit derivabilă pe o vecinătate a unui număr real sau complex a, este seria de puteri

care poate fi scrisă în formă mai compactă ca

unde n! este factorialul lui n și f (n)(a) este a n-a derivată a lui f în punctul a; derivata zero a lui f este prin definiție f însăși și (x − a)0 și 0! sunt amândouă prin definiție 1.

Adesea f(x) este egală cu seria sa Taylor evaluată în x pentru orice x suficient de apropiat de a. Acesta este motivul principal pentru care sunt importante seriile Taylor.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Seria Maclaurin pentru orice polinom este polinomul însuși.

Seria Maclaurin pentru este seria geometrică

deci seria Taylor pentru în este

Integrând seria Maclaurin de mai sus se obține seria Maclaurin pentru , unde cu log s-a notat logaritmul natural:

și seria Taylor corespunzătoare pentru în este

Seria Maclaurin pentru funcția exponențială în este

Dezvoltarea de mai sus este valabilă deoarece derivata lui este chiar iar este 1. Aceasta lasă termenii la numărător și n! la numitor la fiecare termen al sumei infinite.

Seria MacLaurin pentru funcția logaritmică ln(x+1) este