Spațiu Banach

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat în care orice șir Cauchy este convergent.

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892 - 1945).

Definiție[modificare | modificare sursă]

În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.

Un șir  \{ x_n \}_{n-1}^{\infty} de elemente dintr-un spațiu liniar normat  \left ( X, \|\| \right )) se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi  \varepsilon >0, există un indice  N(\varepsilon) astfel încât n, m \ge N(\varepsilon) implică  \| x_n - x_m  \| < \varepsilon.

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy; reciproc nu este adevărat.

Definiție: Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.

Observație: Proprietatea de completitudine se menține pentru submulțimile închise.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Teoremă. Oricare subspațiu închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.

Demonstrație. Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul liniar este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul liniar închis este complet.

Teoremă. Un spațiu liniar normat  \left ( X, \| \|  \right ) este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie X un spațiu liniar normat complet și fie  \sum_{n-1}^{\infty} x_n o serie absolut convergentă. Dacă  s_n = \sum_{k=1}^{\infty} x_k, \; \sigma_n =  \sum_{k=1}^{\infty} \| x_k \|, \;  atunci  \| s_n - s_m \| \le |\sigma_n - \sigma_m|.

Deci dacă  \{ \sigma_n \}^{\infty}_{n=1} este șir Cauchy, atunci  \{ s_n \}^{\infty}_{n=1} este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există  \lim_{n \to \infty} s_n = s \in X,   adică seria  \sum_{n=1}^{\infty} x_n este convergentă.