Spațiu Banach

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.

În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat în care orice șir Cauchy este convergent.

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892 - 1945).

Definiție[modificare | modificare sursă]

În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.

Un șir  \{ x_n \}_{n-1}^{\infty} de elemente dintr-un spațiu liniar normat  \left ( X, \|\| \right )) se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi  \varepsilon >0, există un indice  N(\varepsilon) astfel încât n, m \ge N(\varepsilon) implică  \| x_n - x_m  \| < \varepsilon.

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy; reciproc nu este adevărat.

Definiție: Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.

Observație: Proprietatea de completitudine se menține pentru submulțimile închise.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Teoremă. Oricare subspațiu închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.

Demonstrație. Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul liniar este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul liniar închis este complet.

Teoremă. Un spațiu liniar normat  \left ( X, \| \|  \right ) este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie X un spațiu liniar normat complet și fie  \sum_{n-1}^{\infty} x_n o serie absolut convergentă. Dacă  s_n = \sum_{k=1}^{\infty} x_k, \; \sigma_n =  \sum_{k=1}^{\infty} \| x_k \|, \;  atunci  \| s_n - s_m \| \le |\sigma_n - \sigma_m|.

Deci dacă  \{ \sigma_n \}^{\infty}_{n=1} este șir Cauchy, atunci  \{ s_n \}^{\infty}_{n=1} este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există  \lim_{n \to \infty} s_n = s \in X,   adică seria  \sum_{n=1}^{\infty} x_n este convergentă.

Reciproc, fie  \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} un șir Cauchy în  X. Atunci există un subșir  \{ x_{k_n} \}_{n=1}^{\infty} astfel încât   \| {x_k}_{n+1} - x_{k_n} \|< \frac {1}{2^{n+1}} \; \; (n=1,2,3, \cdots) . Rezultă că seria  \sum_{n=1}^{\infty} \| x_{k_{n+1}} - x_{k_n} \| este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria  \sum_{n=1}^{\infty} \left ( x_{k_{n+1}} - x_{n_k} \right ) este convergentă. Se notează  x=x_{k_1} + \sum_{n=1}^{\infty} \left ( x_{k_{n+1}} - x_{k_n}  \right ). Deoarece:

 x_{k_1} + \sum_{n=1}^{\infty} \left ( x_{k_{n+1}} - x_{k_n} \right ) = x_{k_m}, \; \; (m \ge 2),

rezultă că subșirul  \{ x_{k_n} \}_{n=1}^{\infty} al șirului  \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} este convergent. Prin urmare, șirul  \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} este convergent.

Teoremă. Dacă  X_1, X_2, \cdots , X_n sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs  X= \prod_{k=1}^n este de asemenea un spațiu Banach.

Demonstrație. Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului  X= \prod _{k=1}^n X_k

Fie \{  x^m \}_{m=1}^{\infty} un șir Cauchy din spațiul liniar normat produs  X=\prod_{k=1} ^n X_k, \; unde x^m= \left ( x_{m1}, x_{m2} , \cdots , x_{mn} \right ), \; (m=1,2,3, \cdots ).

Pentru fiecare  \varepsilon >0, există  N_{\varepsilon} astfel încât  \| x^i - x^k \| < \varepsilon , \; (j, k > N_{\varepsilon}), de unde rezultă că  \| x_{ji} - x_{ki} < \varepsilon \|, \; (i= 1,2, \cdots , n ; \; \; j,k > N_{\varepsilon}). Atunci există  x_i \in X_i, \; i=1,2, \cdots , n, astfel încât  x_i = \lim_{k \to \infty}x_{ki}. Deci  \| x_{ji} - x_i \| \le \varepsilon \; (i=1,2, \cdots , n; \; j> N_{\varepsilon}).

Se notează  x= (x_1, x_2, \cdots , x_n). În concluzie, oricare ar fi  \varepsilon >0,  există  N_{\varepsilon} astfel încât  \| x^j-x \| \le \varepsilon \; (j> N_{\varepsilon}), adică  \lim_{m \to \infty} x^m = x.

Teoremă (echivalența spațiilor Banach). Dacă normele  \| \cdot \| ^{\prime} și  \| \cdot \| ^{\prime \prime} , definite în spațiul liniar  L , sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat  \left ( L,  \| \cdot \| ^{\prime}   \right ) este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat  \left ( L,  \| \cdot \| ^{\prime \prime}   \right ) este spațiu Banach.

Demonstrație. Fie  c_1>0, \; c_2>0 două constante alese astfel ca   \| x \| ^{\prime \prime} \le c_1 \| x \| ^{\prime}, \; \| x \| ^{\prime } \le c_1 \| x \| ^{\prime \prime} \; (x \in L). Fie, în continuare,  N_1 = \left ( L, \| \cdot \| ^{\prime} \right )  spațiu Banach și  (x_n)^{\infty}_1 un șir fundamental în  N_2 = \left ( L, \| \cdot \| ^{\prime \prime}  \right ). Pentru numărul  \varepsilon >0 există  n_0 \in \mathbb N astfel încât pentru orice  m, n \in \mathbb N; \; m,n \ge n_0 există relația \| x_n - x_m \| ^{\prime \prime} < \frac {\varepsilon}{c_2}. Se obține  \| x_n - x_m \| ^{\prime}< c_2 \cdot \frac {\varepsilon}{c_2} = \varepsilon \; (n, m \ge n_0). Prin urmare șirul  (x_n)^{\infty}_1 este fundamental în  N_1 și întrucât spațiul  N_1 este complet,  (x_n)^{\infty}_1 este convergent în  N_1. Fie  x= \lim_{n \to \infty} x_n în  N_1, adică  \| x_n -x \|^{\prime} = 0. Însă  \lim_{n \to \infty} \| x_n -x \|^{\prime \prime} \le \lim_{n \to \infty} c_1  \| x_n -x \|^{\prime}=0 și deci șirul  (x_n)^{\infty}_1 este convergent în  N_2. În consecință, spațiul  N_2 este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele  \| \cdot \| ^{\prime} și  \| \cdot \| ^{\prime \prime} se obține că dacă  N_2 este spațiu Banach atunci și  N_1 este spațiu Banach.

Serii în spații Banach[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie  (X, \| \|) un spațiu liniar normat,  \{ x_n \}^{\infty}_{n=1} un șir de elemente din  X și  s_n=x_1+x_2+ \cdots + x_n \; \; (n=1,2,3, \cdots). Dacă există  \lim_{n \to \infty} =s \in X, atunci seria  \sum_{n=1}^{\infty} se numește serie convergentă. Elementul  s este suma seriei  \sum_{n=1}^{\infty} x_n și se notează  s=\sum_{n=1}^{\infty} x_n.

Șirul  \{ s_n \}^{\infty}_{n=1} se numește șirul sumelor parțiale.
Dacă șirul sumelor parțiale nu este convergent, atunci seria se numește divergentă.
Dacă seria  \sum_{n=1}^{\infty} \| x_n \| este convergentă, atunci seria  \sum_{n=1}^{\infty}  x_n se numește absolut convergentă.

Pentru a determina dacă un spațiu liniar normat este complet, există următorul criteriu:

Teoremă. Un spațiu liniar normat  (X, \| \|) este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie  X un spațiu vectorial normat și fie  \sum_{n=1}^{\infty} x_n o serie absolut convergentă. Dacă  s_n= \sum_{n=1}^{\infty} x_n, \; \; \sigma_n = \sum_{n=1}^{\infty} \| x_n \|, atunci  \| s_n - s_m \| \le |\sigma_n - \sigma_m|.

Deci dacă  \{ \sigma_n \}_{n=1}^{\infty} este șir Cauchy, atunci  \{ s_n \}^{\infty}_{n=1} este șir Cauchy.

Prin urmare, spațiul liniar normat  X fiind complet, există  \lim_{n \to \infty} s_n = s \in X, adică seria  \sum_{n=1}^{\infty} x_n este convergentă.

Reciproc, fie  \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} un șir Cauchy în  X. Atunci există un subșir  \{ x_k \}^{\infty}_{n=1} astfel încât  \| x_{k_{n+1}} - x_{k_{n}} \| < \frac {1}{2^{n+1}} \; (n= 1, 2, 3, \cdots).

Exemple de spații Banach[modificare | modificare sursă]

1) Oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.

2) Fie spațiul liniar normat  \left ( \ell^p_{mathbb K}, \| \; \|_p \right ), \; (p \ge 1) al șirurilor  x= \{ \alpha_n \}^{\infty}_{n=1} din  \mathbb K astfel încât seria  \sum_{n=1}^{\infty} | \alpha_n|^p este convergentă, unde norma este definită de:

 \|x\|_p= \left ( \sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^p  \right )^{1/p} \; \; (x \in \ell_{\mathbb K}^p).

Atunci  \left ( \ell^p_{mathbb K}, \| \; \|_p \right ) este spațiu Banach.

Demonstrație. Faptul că  x \mapsto \| x \|_p este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.

Fie  \{ x_n \}^{\infty}_{n=1}, \; x_n= \{  \alpha_{nj} \}^{\infty}_{j=1} \; (n=1, 2,3, \cdots), un șir Cauchy din spațiul  \ell^p_{\mathbb K}. Fie  \varepsilon >0. Atunci există un număr natural  k_{\varepsilon} astfel încât  \| x_n- x_m \|_p < \varepsilon \; (n,m > k_{\varepsilon})

Rezultă că  \sum_{j=1}^{\infty} | \alpha_{nj} - \alpha_{mj}  |^p <  \varepsilon^p \; \; (n,m > k_{\epsilon});

în particular,  | \alpha_{nj} - \alpha_{mj}  | <  \varepsilon \; (n,m > k_{\varepsilon}, j=1,2,3 \cdots).

Fie  x= \left (  \alpha_j  \right )_{j \ge 1}. Se deduce că  \sum_{j=1}^{\infty} |\alpha_{nj} - \alpha_{j}|^p < \varepsilon^p \; (n>k_{\varepsilon}), de unde rezultă că  x_n-X \in \ell^p_{\mathbb K} \; (n>k_{\varepsilon}). Astfel există relația:  x \in \ell^p_{\mathbb K}.

În concluzie, pentru orice  \varepsilon >0, există  k_{\varepsilon}, astfel încât  \| x_n - x \|_p < \varepsilon \; (n> k_{\varepsilon}),  adică  x= \lim_{n \to \infty} x_n.

Vezi și[modificare | modificare sursă]