Spațiu Banach

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.

În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat în care orice șir Cauchy este convergent.

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892 - 1945).

Definiție[modificare | modificare sursă]

În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.

Un șir de elemente dintr-un spațiu liniar normat se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi există un indice astfel încât implică

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy; reciproc nu este adevărat.

Definiție: Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.

Observație: Proprietatea de completitudine se menține pentru submulțimile închise.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Teoremă. Oricare subspațiu închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.

Demonstrație. Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul liniar este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul liniar închis este complet.

Teoremă. Un spațiu liniar normat este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie X un spațiu liniar normat complet și fie o serie absolut convergentă. Dacă   atunci

Deci dacă este șir Cauchy, atunci este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există   adică seria este convergentă.

Reciproc, fie un șir Cauchy în Atunci există un subșir astfel încât   Rezultă că seria este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria este convergentă. Se notează Deoarece:

rezultă că subșirul al șirului este convergent. Prin urmare, șirul este convergent.

Teoremă. Dacă sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs este de asemenea un spațiu Banach.

Demonstrație. Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului

Fie un șir Cauchy din spațiul liniar normat produs unde

Pentru fiecare există astfel încât de unde rezultă că Atunci există astfel încât Deci

Se notează În concluzie, oricare ar fi există astfel încât adică

Teoremă (echivalența spațiilor Banach). Dacă normele și , definite în spațiul liniar sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat este spațiu Banach.

Demonstrație. Fie două constante alese astfel ca Fie, în continuare, spațiu Banach și un șir fundamental în Pentru numărul există astfel încât pentru orice există relația Se obține Prin urmare șirul este fundamental în și întrucât spațiul este complet, este convergent în Fie în adică Însă și deci șirul este convergent în În consecință, spațiul este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele și se obține că dacă este spațiu Banach atunci și este spațiu Banach.

Serii în spații Banach[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie un spațiu liniar normat, un șir de elemente din și Dacă există atunci seria se numește serie convergentă. Elementul este suma seriei și se notează

Șirul se numește șirul sumelor parțiale.
Dacă șirul sumelor parțiale nu este convergent, atunci seria se numește divergentă.
Dacă seria este convergentă, atunci seria se numește absolut convergentă.

Pentru a determina dacă un spațiu liniar normat este complet, există următorul criteriu:

Teoremă. Un spațiu liniar normat este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie un spațiu vectorial normat și fie o serie absolut convergentă. Dacă atunci

Deci dacă este șir Cauchy, atunci este șir Cauchy.

Prin urmare, spațiul liniar normat fiind complet, există adică seria este convergentă.

Reciproc, fie un șir Cauchy în Atunci există un subșir astfel încât

Exemple de spații Banach[modificare | modificare sursă]

1) Oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.

2) Fie spațiul liniar normat al șirurilor din astfel încât seria este convergentă, unde norma este definită de:

Atunci este spațiu Banach.

Demonstrație. Faptul că este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.

Fie un șir Cauchy din spațiul Fie Atunci există un număr natural astfel încât

Rezultă că

în particular,

Fie Se deduce că de unde rezultă că Astfel există relația:

În concluzie, pentru orice există , astfel încât adică

Vezi și[modificare | modificare sursă]