Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.
În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat în care orice șir Cauchy este convergent.
Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892 - 1945).
În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.
Un șir
de elemente dintr-un spațiu liniar normat
se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi
există un indice
astfel încât
implică
Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy; reciproc nu este adevărat.
Definiție: Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.
Observație: Proprietatea de completitudine se menține pentru submulțimile închise.
Teoremă.
Oricare subspațiu închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.
Demonstrație.
Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach.
Deoarece subspațiul liniar este închis, limita șirului aparține subspațiului.
Deci subspațiul liniar închis este complet.
Teoremă.
Un spațiu liniar normat
este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.
Demonstrație.
Fie X un spațiu liniar normat complet și fie
o serie absolut convergentă.
Dacă
atunci
Deci dacă
este șir Cauchy, atunci
este șir Cauchy.
Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există
adică seria
este convergentă.
Reciproc, fie
un șir Cauchy în
Atunci există un subșir
astfel încât
Rezultă că seria
este convergentă.
Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria
este convergentă.
Se notează
Deoarece:

rezultă că subșirul
al șirului
este convergent.
Prin urmare, șirul
este convergent.
Teoremă.
Dacă
sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs
este de asemenea un spațiu Banach.
Demonstrație.
Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului
Fie
un șir Cauchy din spațiul liniar normat produs
unde
Pentru fiecare
există
astfel încât
de unde rezultă că
Atunci există
astfel încât
Deci
Se notează
În concluzie, oricare ar fi
există
astfel încât
adică
Teoremă (echivalența spațiilor Banach).
Dacă normele
și
, definite în spațiul liniar
sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat
este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat
este spațiu Banach.
Demonstrație.
Fie
două constante alese astfel ca
Fie, în continuare,
spațiu Banach și
un șir fundamental în
Pentru numărul
există
astfel încât pentru orice
există relația
Se obține
Prin urmare șirul
este fundamental în
și întrucât spațiul
este complet,
este convergent în
Fie
în
adică
Însă
și deci șirul
este convergent în
În consecință, spațiul
este spațiu Banach.
Schimbând cu rolurile normele
și
se obține că dacă
este spațiu Banach atunci și
este spațiu Banach.
Definiție.
Fie
un spațiu liniar normat,
un șir de elemente din
și
Dacă există
atunci seria
se numește serie convergentă.
Elementul
este suma seriei
și se notează
Șirul
se numește șirul sumelor parțiale.
Dacă șirul sumelor parțiale nu este convergent, atunci seria se numește divergentă.
Dacă seria
este convergentă, atunci seria
se numește absolut convergentă.
Pentru a determina dacă un spațiu liniar normat este complet, există următorul criteriu:
Teoremă.
Un spațiu liniar normat
este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.
Demonstrație.
Fie
un spațiu vectorial normat și fie
o serie absolut convergentă.
Dacă
atunci
Deci dacă
este șir Cauchy, atunci
este șir Cauchy.
Prin urmare, spațiul liniar normat
fiind complet, există
adică seria
este convergentă.
Reciproc, fie
un șir Cauchy în
Atunci există un subșir
astfel încât
1)
Oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.
2)
Fie spațiul liniar normat
al șirurilor
din
astfel încât seria
este convergentă, unde norma este definită de:

Atunci
este spațiu Banach.
Demonstrație.
Faptul că
este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.
Fie
un șir Cauchy din spațiul
Fie
Atunci există un număr natural
astfel încât
Rezultă că
în particular,
Fie
Se deduce că
de unde rezultă că
Astfel există relația:
În concluzie, pentru orice
există
, astfel încât
adică