Spațiu Banach

Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.

În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat în care orice șir Cauchy este convergent.

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892 - 1945).

Definiție

În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.

Un șir $\{x_{n}\}_{n-1}^{\infty }$ de elemente dintr-un spațiu liniar normat $\left(X,\|\|\right))$ se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi $\varepsilon >0,$ există un indice $N(\varepsilon )$ astfel încât $n,m\geq N(\varepsilon )$ implică $\|x_{n}-x_{m}\|<\varepsilon .$

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy; reciproc nu este adevărat.

Definiție: Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.

Observație: Proprietatea de completitudine se menține pentru submulțimile închise.

Proprietăți

Teoremă. Oricare subspațiu închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.

Demonstrație. Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul liniar este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul liniar închis este complet.

Teoremă. Un spațiu liniar normat $\left(X,\|\|\right)$ este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie X un spațiu liniar normat complet și fie $\sum _{n-1}^{\infty }x_{n}$ o serie absolut convergentă. Dacă $s_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k},\;\sigma _{n}=\sum _{k=1}^{\infty }\|x_{k}\|,\;$  atunci $\|s_{n}-s_{m}\|\leq |\sigma _{n}-\sigma _{m}|.$

Deci dacă $\{\sigma _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este șir Cauchy, atunci $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există $\lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in X,$  adică seria $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ este convergentă.

Reciproc, fie $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$un șir Cauchy în $X.$ Atunci există un subșir $\{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }$ astfel încât  $\|{x_{k}}_{n+1}-x_{k_{n}}\|<{\frac {1}{2^{n+1}}}\;\;(n=1,2,3,\cdots ).$ Rezultă că seria $\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\|$ este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria $\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{n_{k}}\right)$ este convergentă. Se notează $x=x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right).$ Deoarece:

$x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right)=x_{k_{m}},\;\;(m\geq 2),$

rezultă că subșirul $\{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }$ al șirului $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este convergent. Prin urmare, șirul $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este convergent.

Teoremă. Dacă $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs $X=\prod _{k=1}^{n}$ este de asemenea un spațiu Banach.

Demonstrație. Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului $X=\prod _{k=1}^{n}X_{k}$

Fie $\{x^{m}\}_{m=1}^{\infty }$ un șir Cauchy din spațiul liniar normat produs $X=\prod _{k=1}^{n}X_{k},\;$ unde $x^{m}=\left(x_{m1},x_{m2},\cdots ,x_{mn}\right),\;(m=1,2,3,\cdots ).$

Pentru fiecare $\varepsilon >0,$ există $N_{\varepsilon }$ astfel încât $\|x^{i}-x^{k}\|<\varepsilon ,\;(j,k>N_{\varepsilon }),$ de unde rezultă că $\|x_{ji}-x_{ki}<\varepsilon \|,\;(i=1,2,\cdots ,n;\;\;j,k>N_{\varepsilon }).$ Atunci există $x_{i}\in X_{i},\;i=1,2,\cdots ,n,$ astfel încât $x_{i}=\lim _{k\to \infty }x_{ki}.$ Deci $\|x_{ji}-x_{i}\|\leq \varepsilon \;(i=1,2,\cdots ,n;\;j>N_{\varepsilon }).$

Se notează $x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}).$ În concluzie, oricare ar fi $\varepsilon >0,$ există $N_{\varepsilon }$ astfel încât $\|x^{j}-x\|\leq \varepsilon \;(j>N_{\varepsilon }),$ adică $\lim _{m\to \infty }x^{m}=x.$

Teoremă (echivalența spațiilor Banach). Dacă normele $\|\cdot \|^{\prime }$ și $\|\cdot \|^{\prime \prime }$, definite în spațiul liniar $L,$ sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat $\left(L,\|\cdot \|^{\prime }\right)$ este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat $\left(L,\|\cdot \|^{\prime \prime }\right)$ este spațiu Banach.

Demonstrație. Fie $c_{1}>0,\;c_{2}>0$ două constante alese astfel ca $\|x\|^{\prime \prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime },\;\|x\|^{\prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime \prime }\;(x\in L).$ Fie, în continuare, $N_{1}=\left(L,\|\cdot \|^{\prime }\right)$ spațiu Banach și $(x_{n})_{1}^{\infty }$ un șir fundamental în $N_{2}=\left(L,\|\cdot \|^{\prime \prime }\right).$ Pentru numărul $\varepsilon >0$ există $n_{0}\in \mathbb {N}$ astfel încât pentru orice $m,n\in \mathbb {N} ;\;m,n\geq n_{0}$ există relația $\|x_{n}-x_{m}\|^{\prime \prime }<{\frac {\varepsilon }{c_{2}}}.$ Se obține $\|x_{n}-x_{m}\|^{\prime }<c_{2}\cdot {\frac {\varepsilon }{c_{2}}}=\varepsilon \;(n,m\geq n_{0}).$ Prin urmare șirul $(x_{n})_{1}^{\infty }$ este fundamental în $N_{1}$ și întrucât spațiul $N_{1}$ este complet, $(x_{n})_{1}^{\infty }$ este convergent în $N_{1}.$ Fie $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ în $N_{1},$ adică $\|x_{n}-x\|^{\prime }=0.$ Însă $\lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|^{\prime \prime }\leq \lim _{n\to \infty }c_{1}\|x_{n}-x\|^{\prime }=0$ și deci șirul $(x_{n})_{1}^{\infty }$ este convergent în $N_{2}.$ În consecință, spațiul $N_{2}$ este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele $\|\cdot \|^{\prime }$ și $\|\cdot \|^{\prime \prime }$ se obține că dacă $N_{2}$ este spațiu Banach atunci și $N_{1}$ este spațiu Banach.

Serii în spații Banach

Definiție. Fie $(X,\|\|)$ un spațiu liniar normat, $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ un șir de elemente din $X$ și $s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\;\;(n=1,2,3,\cdots ).$ Dacă există $\lim _{n\to \infty }=s\in X,$ atunci seria $\sum _{n=1}^{\infty }$ se numește serie convergentă. Elementul $s$ este suma seriei $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ și se notează $s=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}.$

Șirul $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ se numește șirul sumelor parțiale.
Dacă șirul sumelor parțiale nu este convergent, atunci seria se numește divergentă.
Dacă seria $\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|$ este convergentă, atunci seria $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ se numește absolut convergentă.

Pentru a determina dacă un spațiu liniar normat este complet, există următorul criteriu:

Teoremă. Un spațiu liniar normat $(X,\|\|)$ este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie $X$ un spațiu vectorial normat și fie $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ o serie absolut convergentă. Dacă $s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n},\;\;\sigma _{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|,$ atunci $\|s_{n}-s_{m}\|\leq |\sigma _{n}-\sigma _{m}|.$

Deci dacă $\{\sigma _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este șir Cauchy, atunci $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este șir Cauchy.

Prin urmare, spațiul liniar normat $X$ fiind complet, există $\lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in X,$ adică seria $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ este convergentă.

Reciproc, fie $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ un șir Cauchy în $X.$ Atunci există un subșir $\{x_{k}\}_{n=1}^{\infty }$ astfel încât $\|x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\|<{\frac {1}{2^{n+1}}}\;(n=1,2,3,\cdots ).$

Exemple de spații Banach

1) Oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.

2) Fie spațiul liniar normat $\left(\ell _{mathbbK}^{p},\|\;\|_{p}\right),\;(p\geq 1)$ al șirurilor $x=\{\alpha _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ din $\mathbb {K}$ astfel încât seria $\sum _{n=1}^{\infty }|\alpha _{n}|^{p}$ este convergentă, unde norma este definită de:

$\|x\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|\alpha _{n}|^{p}\right)^{1/p}\;\;(x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}).$

Atunci $\left(\ell _{mathbbK}^{p},\|\;\|_{p}\right)$ este spațiu Banach.

Demonstrație. Faptul că $x\mapsto \|x\|_{p}$ este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.

Fie $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },\;x_{n}=\{\alpha _{nj}\}_{j=1}^{\infty }\;(n=1,2,3,\cdots ),$ un șir Cauchy din spațiul $\ell _{\mathbb {K} }^{p}.$ Fie $\varepsilon >0.$ Atunci există un număr natural $k_{\varepsilon }$ astfel încât $\|x_{n}-x_{m}\|_{p}<\varepsilon \;(n,m>k_{\varepsilon })$

Rezultă că $\sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|^{p}<\varepsilon ^{p}\;\;(n,m>k_{\epsilon });$

în particular, $|\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|<\varepsilon \;(n,m>k_{\varepsilon },j=1,2,3\cdots ).$

Fie $x=\left(\alpha _{j}\right)_{j\geq 1}.$ Se deduce că $\sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{j}|^{p}<\varepsilon ^{p}\;(n>k_{\varepsilon }),$ de unde rezultă că $x_{n}-X\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}\;(n>k_{\varepsilon }).$ Astfel există relația: $x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}.$

În concluzie, pentru orice $\varepsilon >0,$ există $k_{\varepsilon }$, astfel încât $\|x_{n}-x\|_{p}<\varepsilon \;(n>k_{\varepsilon }),$ adică $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Vezi și

• Algebră Banach