Coordonate carteziene

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Fig. 1 - Coordonate carteziene. Sunt marcate patru puncte: (2;3) cu verde, (-3;1) cu roşu, (-1.5;-2.5) cu albastru şi (0;0), originea, cu mov.

În matematică, sistemul de coordonate carteziene este folosit pentru a determina în mod unic un punct în plan prin două numere, numite de regulă abscisa și ordonata punctului. Pentru a defini coordonatele, se specifică două drepte perpendiculare și unitatea de lungime, care este marcată pe cele două axe. Coordonatele carteziene sunt folosite și în spațiu (unde se folosesc trei coordonate) și în mai multe dimensiuni.

Pe lângă sistemul cartezian mai există și alte sisteme de specificare a poziției unui punct în plan, de ex. sistemul de coordonate polare.

Fig. 2 - Sistemul de coordonate carteziene cu cercul de rază 2 centrat în origine marcat cu roşu. Ecuaţia cercului este x2 + y2 = 4.

Folosind sistemul de coordonate carteziene, formele geometrice (cum ar fi curbele) pot fi descrise prin ecuații algebrice, anume ecuații satisfăcute de coordonatele punctelor de pe respectiva formă geometrică. De exemplu, cercul de rază 2 poate fi descris de ecuația x2 + y2 = 4.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Numele sistemului vine de la Cartesius, numele latinesc al matematicianului și filozofului francez René Descartes care, printre altele, a contribuit la unificarea algebrei și geometriei euclidiene. Munca sa a avut influențe asupra geometriei analitice, analizei matematice, și cartografiei.

Ideea acestui sistem a fost dezvoltată în 1637 în două lucrări ale lui Descartes. În partea a doua a Discursului asupra metodei, Descartes introduce ideea nouă a specificării poziției unui punct sau obiect de pe o suprafață, folosind două axe intersectate ca ghizi de măsurare. În La Géométrie, a explorat mai în profunzime conceptele menționate mai sus.

Sistemul de coordonate bidimensional[modificare | modificare sursă]

Fig. 3 - Cele patru cadrane ale unui sistem de coordonate carteziene. Săgeţile de pe axe indică faptul că ele se extind spre infinit în direcţiile respective.

Un sistem de coordonate cartezian în două dimensiuni este definit de obicei de două axe în unghi drept una cu cealaltă, formând un plan. Axa orizontală este în mod normal etichetată x, și axa verticală este notată cu y. Într-un sistem de coordonate tridimensional se adaugă o altă axă, de regulă notată cu z, furnizând a treia dimensiune de măsurare a spațiului. Axele sunt de regulă definite ca fiind perpendiculare una pe cealaltă. (Primele sisteme permiteau și axe oblice, adică axe care nu se intersectau în unghi drept, astfel de sisteme fiind folosite și astăzi, dar mai ales ca exercițiu teoretic.) Toate punctele dintr-un sistem de coordonate cartezian luate împreună formează un așa-numit plan cartezian. Ecuațiile care folosesc sistemul de coordonate cartezian sunt numite ecuații carteziene.

Punctul de intersecție a axelor se numește origine și se notează cu O. Axele x și y definesc un plan denumit planul xy. Pentru a specifica un anume punct pe un sistem de coordonate bidimensional, se indică întâi unitatea x (abscisa), urmată de unitatea y (ordonata) de forma (x,y), pereche ordonată.

Alegerea literelor provinde dintr-o convenție de a folosi literele de la sfârșitul alfabetului pentru a indica valorile necunoscute. Prin contrast, literele de la începutul alfabetului erau folosite pentru a nota valori cunoscute.

Un exemplu de punct P în sistem este arătat în figura 3, folosind coordonatele (3;5).

Intersecția celor două axe dă naștere la patru regiuni, denumite cadrane, notate cu numerele romane I (+,+), II (−,+), III (−,−), și IV (+,−). Convențional, cadranele sunt etichetate în sens invers acelor de ceasornic pornind de la cel din drepta-sus (de "nord-est"). În primul cadran, ambele coordonate sunt pozitive, în al doilea cadran abscisele sunt negative și ordonatele pozitive, în al treilea cadran ambele coordonate sunt negative iar in al patrulea cadran, abscisele sunt pozitive iar ordonatele negative.

Sistemul de coordonate în trei dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Fig. 4 - Sistem de coordonate tridimensional cu axa y îndreptată în direcţia opusă observatorului.
Fig. 5 - Sistem de coordonate carteziene în trei dimensiuni cu axa x îndreptată spre observator.

Sistemul de coordonate carteziene în trei dimensiuni furnizează cele trei dimensiuni fizice ale spațiului — lungime, lățime și înălțimile. În figurile 4 și 5 sunt arătate două moduri obișnuite de reprezentare a acestuia.

Cele trei axe carteziene care definesc sistemul sunt perpendiculare două câte două. Coordonatele relevante sunt de forma (x,y,z). De exemplu, figura 4 arată două puncte trasate într-un sistem cartezian tridimensional: P(3;0;5) și Q(−5;−5;7).

Coordonatele x-, y-, și z ale unui punct pot fi considerate a fi distanțele de la acel punct la planele yz, xz, și respectiv xy. Figura 5 arată distanțele de la punctul P la plane.

Planele xy, yz, și xz împart spațiul tridimensional în opt subdiviziuni denumite octante, similar cu cadranele din spațiul 2D. Deși au fost stabilite convenții de etichetare a cadranelor din planul xy, în spațiul tridimensional doar primul octant este etichetat. El conține toate punctele ale căror coordonate x, y și z sunt pozitive.

Orientare[modificare | modificare sursă]

În două dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Regula mâinii drepte.

Fixarea sau alegerea axei x determină și axa y. Anume, axa y este neapărat perpendiculara pe axa x în punctul marcat cu 0 pe axa x. Rămânde de ales care din cele două semidrepte ale perpendicularei va desemna valorile pozitive și care pe cele negative. Fiecare dintre cele două alegeri determină o altă orientare a planului cartezian.

Calea obișnuită de orientare a axelor, cu axa pozitivă x către dreapta și axa pozitivă y în sus (și axa x fiind "prima" și axa y a doua axă) este considerată orientarea pozitivă sau standard.

O mnemonică folosită adesea pentru definirea orientării pozitive este regula mâinii drepte. Punând o mână dreaptă cu palma în sus pe plan cu degetul mare îndreptat în sus (direcția pozitivă a axei y), cele patru degete arată direcția de la axa x spre axa y.

Orientarea sistemului de coordonate se păstrează prin rotație. Interschimbarea lui x și y va schimba orientarea.