Derivată

Graficul unei funcții, desenat cu negru, și o dreaptă tangentă la acel grafic, desenată cu roșu. Panta dreptei tangente este egală cu derivata funcției în punctul marcat.

Derivata în diferite puncte ale unei funcții derivabile. În acest caz, derivata este egală cu $\sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)$.

În matematică, derivata este o operație matematică aplicată unei funcții numerice. Exprimă sensibilitatea la schimbare a ieșirii unei funcții în raport cu intrarea sa. Derivata unei funcții de o singură variabilă într-o valoare aleasă a intrării, atunci când există, este panta dreptei tangente la graficul funcției în acel punct. Dreapta tangentă este cea mai bună aproximare liniară a funcției în vecinătatea acelei valori a intrării. Derivata este descrisă adesea ca rata instantanee de variație, raportul dintre variația instantanee a variabilei dependente și cea a variabilei independente. Procesul de găsire a unei derivate se numește diferențiere.

Există mai multe notații diferite pentru diferențiere. Notația Leibniz, numită după Gottfried Wilhelm Leibniz, este reprezentată ca raportul a două diferențiale, în timp ce notația cu prim se scrie prin adăugarea unui semn prim. Notațiile de ordin superior reprezintă diferențiere repetată și sunt, de obicei, notate în notația Leibniz prin adăugarea de indice superscris la diferențiale, iar în notația cu prim prin adăugarea de semne prim suplimentare. Derivatele de ordin superior sunt folosite în fizică; de exemplu, prima derivată în raport cu timpul a poziției unui obiect în mișcare este viteza sa, iar a doua derivată este accelerația sa.

Derivatele pot fi generalizate la funcții de mai multe variabile reale. În acest caz, derivata este reinterpretată ca o transformare liniară al cărei grafic este (după o translație adecvată) cea mai bună aproximare liniară a graficului funcției originale. Matricea Jacobi este matricea care reprezintă această transformare liniară în raport cu baza dată de alegerea variabilelor independente și dependente. Ea poate fi calculată în termeni de derivate parțiale față de variabilele independente. Pentru o funcție cu valori reale de mai multe variabile, matricea Jacobi se reduce la vectorul gradient.

Definiție

Ca limită

O funcție de variabilă reală $f(x)$ este derivabilă într-un punct $a$ al domeniului său, dacă domeniul său conține un interval deschis care îl conține pe $a$, iar limita aplicată unei diferențe divizate $$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$$ există. Aceasta înseamnă că, pentru orice număr real pozitiv $\varepsilon$, există un număr real pozitiv $\delta$ astfel încât, pentru orice $h$ cu $|h|<\delta$ și $h\neq 0$, atunci $f(a+h)$ este definit, iar $$\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$$ unde barele verticale denotă valoarea absolută. Acesta este un exemplu de definiția (ε, δ) a limitei.

Dacă funcția $f$ este derivabilă în $a$, adică dacă limita $L$ există, atunci această limită se numește derivata lui $f$ în $a$. Există mai multe notații pentru derivată. Derivata lui $f$ în $a$ poate fi notată $f'(a)$, citită „$f$ prim în $a$”; sau poate fi notată $\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)$, citită „derivata lui $f$ față de $x$ în $a$" sau „$df$ prin (sau peste) $dx$ în $a$”. Vezi § Notație mai jos. Dacă $f$ este o funcție care are derivată în fiecare punct al domeniului său, atunci se poate defini o funcție care asociază fiecărui punct $x$ valoarea derivatei lui $f$ în $x$. Această funcție se scrie $f'$ și se numește funcția derivată sau derivata lui $f$. Funcția $f$ are uneori derivată în cele mai multe, dar nu în toate punctele domeniului său. Funcția a cărei valoare în $a$ este egală cu $f'(a)$ ori de câte ori $f'(a)$ este definită și care este nedefinită în rest se numește, de asemenea, derivata lui $f$. Ea este tot o funcție, dar domeniul ei poate fi mai mic decât domeniul lui $f$.

De exemplu, fie $f$ funcția pătrat: $f(x)=x^{2}$. Atunci raportul din definiția derivatei este $${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.$$ Împărțirea din ultimul pas este validă atâta timp cât $h\neq 0$. Cu cât $h$ este mai aproape de $0$, cu atât această expresie se apropie de valoarea $2a$. Limita există, iar pentru fiecare intrare $a$ limita este $2a$. Așadar, derivata funcției pătrat este funcția dublării: $f'(x)=2x$.

Raportul din definiția derivatei este panta dreptei care trece prin două puncte de pe graficul funcției $f$, anume punctele $(a,f(a))$ și $(a+h,f(a+h))$. Pe măsură ce $h$ devine mai mic, aceste puncte se apropie, iar panta acestei drepte se apropie de valoarea-limită, panta tangentei la graficul lui $f$ în $a$. Cu alte cuvinte, derivata este panta tangentei.

Folosind infiniți mici

Un mod de a gândi derivata ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ este ca raportul dintre o variație infinitesimală a ieșirii funcției $f$ și o variație infinitesimală a intrării sale. Pentru a face această intuiție riguroasă, este necesar un sistem de reguli pentru manipularea cantităților infinițesimale. Sistemul numerelor hiperreale este o modalitate de a trata cantități infinite și infinitesimale. Hiperrealele sunt o extensie a numerelor reale care conține numere mai mari decât orice număr de forma $1+1+\cdots +1$ pentru un număr finit de termeni. Astfel de numere sunt infinite, iar inversele lor sunt infinitesimale. Aplicarea numerelor hiperreale la fundamentele calculului diferențial se numește analiză non-standard. Aceasta oferă o modalitate de a defini concepte de bază ale calculului, cum ar fi derivata și integrala, în termeni de infinitesimale, oferind astfel un sens precis lui $d$ din notația Leibniz. Astfel, derivata lui $f(x)$ devine $$f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$$ pentru un infinitesimal arbitrar $dx$, unde $\operatorname {st}$ denotă funcția parte standard, care „rotunjește” fiecare hiperreal finit la cel mai apropiat număr real. Luând din nou funcția pătrat $f(x)=x^{2}$ ca exemplu, $${\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}$$

Continuitate și derivabilitate

Această funcție nu are derivată în punctul marcat, deoarece funcția nu este continuă acolo (mai precis, are o discontinuitate de salt).

Funcția modul este continuă, dar nu este derivabilă în x = 0, deoarece pantele tangentelor nu tind la aceeași valoare din stânga și din dreapta.

Dacă $f$ este derivabilă în $a$, atunci $f$ trebuie să fie și continuă în $a$. De exemplu, alegeți un punct $a$ și luați $f$ să fie funcția treaptă care întoarce valoarea 1 pentru toate $x$ mai mici decât $a$, și întoarce o altă valoare, 10, pentru toate $x$ mai mari sau egale cu $a$. Funcția $f$ nu poate avea derivată în $a$. Dacă $h$ este negativ, atunci $a+h$ se află pe treapta de jos, deci secanta de la $a$ la $a+h$ este foarte abruptă; pe măsură ce $h$ tinde la zero, panta tinde la infinit. Dacă $h$ este pozitiv, atunci $a+h$ se află pe treapta de sus, deci secanta de la $a$ la $a+h$ are panta zero. În consecință, secantele nu tind către o singură pantă, așa că limita raportului diferențial nu există. Totuși, chiar dacă o funcție este continuă într-un punct, ea poate să nu fie derivabilă acolo. De exemplu, funcția modul definită prin $f(x)=|x|$ este continuă în $x=0$, dar nu este derivabilă acolo. Dacă $h$ este pozitiv, atunci panta secantei de la 0 la $h$ este 1; dacă $h$ este negativ, atunci panta secantei de la $0$ la $h$ este $-1$. Acest lucru poate fi văzut grafic ca un „colț” sau o „cuspidă” în grafic la $x=0$. Nici măcar o funcție cu un grafic neted nu este derivabilă într-un punct în care tangenta este verticală: de pildă, funcția dată de $f(x)=x^{1/3}$ nu este derivabilă în $x=0$. În rezumat, o funcție care are derivată este continuă, dar există funcții continue care nu au derivată.

Majoritatea funcțiilor care apar în practică au derivate în toate punctele sau în aproape toate punctele. La începutul istoriei calculului, mulți matematicieni au presupus că o funcție continuă este derivabilă în majoritatea punctelor. În condiții blânde (de exemplu, dacă funcția este monotonă sau o funcție Lipschitz), acest lucru este adevărat. Totuși, în 1872, Weierstrass a găsit primul exemplu de funcție continuă peste tot, dar neddiferențiabilă nicăieri. Acest exemplu este cunoscut acum drept funcția Weierstrass. În 1931, Stefan Banach a demonstrat că mulțimea funcțiilor care au derivată într-un punct este o mulțime meageră în spațiul tuturor funcțiilor continue. Informal, aceasta înseamnă că abia dacă există funcții continue „aleatoare” care să aibă derivată chiar și într-un singur punct.

Notație

Un mod obișnuit de a scrie derivata unei funcții este notația Leibniz, introdusă de Gottfried Wilhelm Leibniz în 1675, care notează o derivată ca raportul a două diferențiale, cum ar fi $dy$ și $dx$. Ea este încă folosită frecvent atunci când ecuația $y=f(x)$ este privită ca o relație funcțională între variabilă dependentă și independentă. Prima derivată se notează $\textstyle {\frac {dy}{dx}}$, citită „derivata lui $y$ față de $x$”. Această derivată poate fi tratată alternativ ca aplicarea unui operator diferențial asupra unei funcții, ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(x).}$ Derivatele de ordin superior sunt exprimate folosind notația ${\textstyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$ pentru derivata de ordinul $n$ a lui $y=f(x)$. Acestea sunt abrevieri pentru aplicări multiple ale operatorului derivată; de exemplu, ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}f(x){\Bigr )}.}$ Spre deosebire de unele alternative, notația Leibniz implică specificarea explicită a variabilei de diferențiere, în numitor, ceea ce elimină ambiguitatea când se lucrează cu mai multe mărimi interdependente. Derivata unei funcții compuse poate fi exprimată folosind regula lanțului: dacă $u=g(x)$ și $y=f(g(x))$, atunci ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

O altă notație comună pentru diferențiere este folosirea semnului prim în simbolul unei funcții $f(x)$. Această notație, datorată lui Joseph-Louis Lagrange, este cunoscută acum ca notație cu prim. Prima derivată se scrie $f'(x)$, citită „$f$ prim în $x$”, sau $y'$, citită „$y$ prim”. În mod similar, a doua și a treia derivată pot fi scrise ca $f''$ și $f'''$, respectiv. Pentru a nota numărul de derivate superioare dincolo de acest punct, unii autori folosesc cifrele romane ca indice, în timp ce alții pun numărul între paranteze, precum $f^{\mathrm {iv} }$ sau $f^{(4)}$. Această din urmă notație se generalizează la notația $f^{(n)}$ pentru derivata de ordinul $n$ a lui $f$.

În notația lui Newton sau notația „cu punct”, deasupra unui simbol se pune un punct pentru a reprezenta o derivată în raport cu timpul. Dacă $y$ este o funcție de $t$, atunci prima și a doua derivată pot fi scrise ca ${\dot {y}}$ și ${\ddot {y}}$, respectiv. Această notație este folosită exclusiv pentru derivate în raport cu timpul sau cu lungimea arcului. Este utilizată în mod obișnuit în ecuații diferențiale din fizică și geometrie diferențială. Totuși, notația cu punct devine greoaie pentru derivate de ordin înalt (de ordin 4 sau mai mare) și nu poate trata mai multe variabile independente.

O altă notație este notația D, care reprezintă operatorul diferențial prin simbolul $D$. Prima derivată se scrie $Df(x)$, iar derivatele de ordin superior se scriu cu un superscript, astfel încât derivata de ordinul $n$ este $D^{n}f(x)$. Această notație este numită uneori notația lui Euler, deși se pare că Leonhard Euler nu a folosit-o, iar notația a fost introdusă de Louis François Antoine Arbogast. Pentru a indica o derivată parțială, variabila după care se diferențiază este indicată printr-un indice, de exemplu, pentru funcția $u=f(x,y)$, derivata sa parțială în raport cu $x$ poate fi scrisă $D_{x}u$ sau $D_{x}f(x,y)$. Derivatele parțiale de ordin superior pot fi indicate prin unul sau mai mulți exponenți, de exemplu ${\textstyle D_{xy}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$ și $\textstyle D_{x}^{2}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}$.

Reguli de calcul

Articol principal: Reguli de derivare

În principiu, derivata unei funcții poate fi calculată din definiție, considerând raportul diferențial și calculând limita sa. Odată cunoscute derivatele câtorva funcții simple, derivatele altor funcții se calculează mai ușor folosind reguli pentru obținerea derivatelor unor funcții mai complicate din cele simple. Acest proces de găsire a unei derivate este cunoscut ca diferențiere.

Reguli pentru funcții de bază (elementare)

Următoarele sunt regulile pentru derivatele celor mai comune funcții de bază. Aici, $a$ este un număr real, iar $e$ este baza logaritmului natural, aproximativ 2.71828.

• Derivatele puterilor:

  ${\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}$

• Funcții exponențiale, logaritmul natural și logaritmul cu bază generală:

  ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

  ${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)$, pentru $a>0$

  ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$, pentru $x>0$

  ${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}$, pentru $x,a>0$

• Funcții trigonometrice:

  ${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$

  ${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

  ${\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$

• Funcții trigonometrice inverse:

  ${\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$, pentru $-1<x<1$

  ${\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$, pentru $-1<x<1$

  ${\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Reguli pentru funcții combinate

Următoarele reguli permit deducerea derivatelor multor funcții din derivatele funcțiilor de bază:

• Regula constantei: dacă $f$ este o funcție constantă, atunci pentru orice $x$,

  $f'(x)=0.$

• Regula sumei:

  $(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'$ pentru orice funcții $f$ și $g$ și orice numere reale $\alpha$ și $\beta$.

• Regula produsului:

  $(fg)'=f'g+fg'$ pentru orice funcții $f$ și $g$. Ca caz special, această regulă include faptul că $(\alpha f)'=\alpha f'$ ori de câte ori $\alpha$ este o constantă, deoarece $\alpha 'f=0\cdot f=0$ prin regula constantei.

• Regula câtului:

  $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ pentru orice funcții $f$ și $g$ în toate punctele în care $g\neq 0$.

• Regula lanțului pentru funcții compuse: dacă $f(x)=h(g(x))$, atunci

  $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).$

Exemplu de calcul

Derivata funcției date de $f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7$ este $${\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}$$ Aici al doilea termen a fost calculat folosind regula lanțului, iar al treilea termen folosind regula produsului. Au fost folosite, de asemenea, derivatele cunoscute ale funcțiilor elementare $x^{2}$, $x^{4}$, $\sin(x)$, $\ln(x)$, și $\exp(x)$, precum și constanta $7$.

Antiderivare

Articol principal: Primitivă

O antiderivată sau primitivă a unei funcții $f$ este o funcție a cărei derivată este $f$. Antiderivatele nu sunt unice: dacă $A$ este o antiderivată a lui $f$, atunci și $A+c$, unde $c$ este orice constantă, deoarece derivata unei constante este zero. Teorema fundamentală a calculului arată că găsirea unei antiderivate a unei funcții oferă o modalitate de a calcula ariile figurilor delimitate de acea funcție. Mai precis, integrala unei funcții pe un interval închis este egală cu diferența dintre valorile unei antiderivate evaluate în capetele intervalului.

Derivate de ordin superior

Derivatele de ordin superior sunt rezultatul diferențierii repetate a unei funcții. Dacă $f$ este o funcție derivabilă, derivata lui $f$ este prima derivată, notată $f'$. Derivata lui $f'$ este a doua derivată, notată $f''$, iar derivata lui $f''$ este a treia derivată, notată $f'''$. Continuând acest proces, dacă există, derivata de ordinul $n$ este derivata derivatei de ordinul $(n-1)$ sau „derivata de ordin $n$”. Așa cum a fost discutat mai sus, generalizarea derivatei unei funcții $f$ poate fi notată $f^{(n)}$. O funcție care are $k$ derivate succesive se numește „$k$-ori derivabilă”. Dacă derivata de ordinul $k$-lea este continuă, atunci funcția se spune că este de clasa de derivabilitate $C^{k}$. O funcție care are un număr infinit de derivate se numește „infinit derivabilă” sau „netedă”. Orice funcție polinomială este infinit derivabilă; diferențierea repetată va duce, în cele din urmă, la o funcție constantă, iar toate derivatele ulterioare ale acelei funcții sunt zero.

O aplicație a derivatelor de ordin superior este în fizică. De exemplu, dacă funcția $x$ reprezintă poziția unui obiect în raport cu timpul, $x'$ reprezintă viteza obiectului, $x''$ reprezintă accelerația obiectului, iar $x'''$ reprezintă supraaccelerația obiectului.

În alte dimensiuni

Vezi și: Calcul vectorial și Calcul multivariabil.

Funcții cu valori vectoriale

O funcție cu valori vectoriale $\mathbf {y}$ a unei variabile reale asociază numere reale unor vectori dintr-un anumit spațiu vectorial $\mathbb {R} ^{n}$. O astfel de funcție poate fi descompusă în funcțiile sale de coordonate $y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)$, adică ${1}$. Aceasta include, de exemplu, curbe parametrice în $\mathbb {R} ^{2}$ sau $\mathbb {R} ^{3}$. Funcțiile de coordonate sunt funcții cu valori reale, deci definiția de mai sus a derivatei se aplică acestora. Derivata lui $\mathbf {y} (t)$ este definită ca vectorul, numit vector tangent, ale cărui coordonate sunt derivatele funcțiilor de coordonate. Adică, $$\mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},$$ dacă limita există. Scăderea din numărător este scăderea vectorilor, nu a scalarilor. Dacă derivata lui $\mathbf {y}$ există pentru fiecare valoare a lui $t$, atunci $\mathbf {y} '$ este o altă funcție cu valori vectoriale.

Derivate parțiale

Articol principal: Derivată parțială

Funcțiile pot depinde de mai mult de o variabilă. O derivată parțială a unei funcții de mai multe variabile este derivata sa în raport cu una dintre aceste variabile, celelalte fiind considerate constante. Derivatele parțiale sunt folosite în calcul vectorial și geometrie diferențială. Ca și în cazul derivatelor obișnuite, există mai multe notații: derivata parțială a unei funcții $f(x,y,\dots )$ în raport cu variabila $x$ este notată, în diferite moduri,

$f_{x}$, $f'_{x}$, $\partial _{x}f$, ${\frac {\partial }{\partial x}}f$, sau ${\frac {\partial f}{\partial x}}$,

printre alte posibilități. Ea poate fi privită ca rata de variație a funcției în direcția $x$. Aici ∂ este un „d” rotunjit numit simbolul derivatei parțiale. Pentru a-l deosebi de litera „d”, ∂ este uneori pronunțat „der”, „del” sau „partial” în loc de „dee”. De exemplu, fie $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$, atunci derivatele parțiale ale funcției $f$ în raport cu ambele variabile $x$ și $y$ sunt, respectiv: $${\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.$$ În general, derivata parțială a unei funcții $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ în direcția $x_{i}$ în punctul $(a_{1},\dots ,a_{n})$ este definită astfel: $${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.$$

Aceasta este fundamentală pentru studiul funcțiilor de mai multe variabile reale. Fie $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ o astfel de funcție cu valori reale. Dacă toate derivatele parțiale $f$ în raport cu $x_{j}$ sunt definite în punctul $(a_{1},\dots ,a_{n})$, aceste derivate parțiale definesc vectorul $$\nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),$$ care se numește gradientul lui $f$ în $a$. Dacă $f$ este derivabilă în fiecare punct dintr-un anumit domeniu, atunci gradientul este o funcție cu valori vectoriale $\nabla f$ care trimite punctul $(a_{1},\dots ,a_{n})$ în vectorul $\nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})$. În consecință, gradientul determină un câmp vectorial.

Derivate direcționale

Articol principal: Derivată direcțională

Dacă $f$ este o funcție cu valori reale pe $\mathbb {R} ^{n}$, atunci derivatele parțiale ale lui $f$ măsoară variația sa în direcția axelor de coordonate. De exemplu, dacă $f$ este o funcție de $x$ și $y$, atunci derivatele sale parțiale măsoară variația lui $f$ în direcțiile $x$ și $y$. Totuși, ele nu măsoară direct variația lui $f$ în orice altă direcție, cum ar fi de-a lungul dreptei diagonale $y=x$. Acestea sunt măsurate folosind derivate direcționale. Dat fiind un vector $\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$, derivata direcțională a lui $f$ în direcția lui $\mathbf {v}$ în punctul $\mathbf {x}$ este: $$D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$$

Dacă toate derivatele parțiale ale lui $f$ există și sunt continue în $\mathbf {x}$, atunci ele determină derivata direcțională a lui $f$ în direcția $\mathbf {v}$ prin formula: $$D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$$

Derivata totală și matricea Jacobi

Articol principal: Derivată totală

Când $f$ este o funcție de la un subansamblu deschis al lui $\mathbb {R} ^{n}$ la $\mathbb {R} ^{m}$, atunci derivata direcțională a lui $f$ într-o direcție aleasă este cea mai bună aproximare liniară a lui $f$ în acel punct și în acea direcție. Totuși, când $n>1$, nicio derivată direcțională singulară nu poate da o imagine completă asupra comportamentului lui $f$. Derivata totală oferă o imagine completă, considerând toate direcțiile simultan. Adică, pentru orice vector $\mathbf {v}$ care pornește din $\mathbf {a}$, formula aproximării liniare este valabilă: $$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .$$ În mod similar cu derivata într-o singură variabilă, $f'(\mathbf {a} )$ este aleasă astfel încât eroarea acestei aproximări să fie cât mai mică posibil. Derivata totală a lui $f$ în $\mathbf {a}$ este unica transformare liniară $f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ astfel încât $$\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.$$ Aici $\mathbf {h}$ este un vector în $\mathbb {R} ^{n}$, deci norma din numitor este lungimea standard pe $\mathbb {R} ^{n}$. Totuși, $f'(\mathbf {a} )\mathbf {h}$ este un vector în $\mathbb {R} ^{m}$, iar norma din numărător este lungimea standard pe $\mathbb {R} ^{m}$.

Dacă derivata totală există în $\mathbf {a}$, atunci toate derivatele parțiale și direcționale ale lui $f$ există în $\mathbf {a}$, iar pentru orice $\mathbf {v}$, $f'(\mathbf {a} )\mathbf {v}$ este derivata direcțională a lui $f$ în direcția $\mathbf {v}$. Dacă $f$ este scrisă folosind funcții de coordonate, astfel încât $f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})$, atunci derivata totală poate fi exprimată sub forma unei matrice. Această matrice se numește matricea Jacobi a lui $f$ în $\mathbf {a}$: $$f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.$$

Generalizări

Articol principal: Generalizări ale derivatelor

Conceptul de derivată poate fi extins la multe alte cadre. Firul comun este că derivata unei funcții într-un punct servește drept aproximare liniară a funcției în acel punct.

• O generalizare importantă a derivatei privește funcțiile complexe de variabilă complexă, cum ar fi funcțiile de la (un domeniu din) numerele complexe $\mathbb {C}$ la $\mathbb {C}$. Noțiunea de derivată a unei astfel de funcții se obține prin înlocuirea variabilelor reale cu variabile complexe în definiție. Dacă $\mathbb {C}$ este identificat cu $\mathbb {R} ^{2}$ scriind un număr complex $z$ ca $x+iy$ atunci o funcție derivabilă de la $\mathbb {C}$ la $\mathbb {C}$ este cu siguranță derivabilă și ca funcție de la $\mathbb {R} ^{2}$ la $\mathbb {R} ^{2}$ (în sensul că toate derivatele sale parțiale există), dar reciproca nu este adevărată în general: derivata complexă există numai dacă derivata reală este „liniară complex” și aceasta impune relații între derivatele parțiale numite ecuațiile Cauchy–Riemann – vezi funcții holomorfe.
• O altă generalizare privește funcțiile între varietăți diferențiabile sau netede. Intuitiv, o astfel de varietate $M$ este un spațiu care poate fi aproximat în vecinătatea fiecărui punct $x$ printr-un spațiu vectorial numit spațiu tangent: exemplul prototipic este o suprafață netedă în $\mathbb {R} ^{3}$. Derivata (sau diferențiala) unei aplicații (diferențiabile) $f:M\to N$ între varietăți, într-un punct $x$ din $M$, este atunci o aplicație liniară de la spațiul tangent al lui $M$ în $x$ la spațiul tangent al lui $N$ în $f(x)$. Funcția derivată devine o aplicație între fibratele tangente ale lui $M$ și $N$. Această definiție este folosită în geometrie diferențială.
• Diferențierea poate fi definită și pentru aplicații între spații vectoriale, precum spațiile Banach, caz în care aceste generalizări sunt derivata Gateaux și derivata Fréchet.
• O deficiență a derivatei clasice este că foarte multe funcții nu sunt derivabile. Totuși, există o modalitate de a extinde noțiunea de derivată astfel încât toate funcțiile continue și multe alte funcții să poată fi diferențiate folosind un concept cunoscut sub numele de derivată slabă. Ideea este de a încorpora funcțiile continue într-un spațiu mai mare numit spațiul distribuțiilor și de a cere doar ca o funcție să fie derivabilă „în medie”.
• Proprietățile derivatei au inspirat introducerea și studiul multor obiecte similare în algebră și topologie; un exemplu este algebra diferențială. Aici, ea constă în derivarea unor subiecte din algebra abstractă, cum ar fi inele, idealurile, câmpurile și așa mai departe.
• Echivalentul discret al diferențierii este diferențele finite. Studiul calculului diferențial este unificat cu calculul diferențelor finite în calcul pe intervale de timp.
• Derivata aritmetică implică funcția definită pentru întregi prin factorizarea primă. Aceasta este o analogie cu regula produsului.
• Derivațiile generalizează derivatele la contexte algebrice, cum ar fi inelele.

Referințe

• Apostol, Tom M. (iunie 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (ed. 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Azegami, Hideyuki (2020), Shape Optimization Problems, Springer Optimization and Its Applications, 164, Springer, doi:10.1007/978-981-15-7618-8, ISBN 978-981-15-7618-8 
• Banach, Stefan (1931), „Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen”, Studia Math., 3 (3): 174–179, doi:10.4064/sm-3-1-174-179 . 
• Barbeau, E. J. (1961). „Remarks on an arithmetic derivative”. Canadian Mathematical Bulletin. 4 (2): 117–122. doi:10.4153/CMB-1961-013-0 . Zbl 0101.03702. 
• Bhardwaj, R. S. (2005), Mathematics for Economics & Business (ed. 2nd), Excel Books India, ISBN 9788174464507 
• Cajori, Florian (1923), „The History of Notations of the Calculus”, Annals of Mathematics, 25 (1): 1–46, doi:10.2307/1967725, hdl:2027/mdp.39015017345896 , JSTOR 1967725 
• Cajori, Florian (2007), A History of Mathematical Notations, 2, Cosimo Classics, ISBN 978-1-60206-713-4 
• Carothers, N. L. (2000), Real Analysis, Cambridge University Press 
• Choudary, A. D. R.; Niculescu, Constantin P. (2014), Real Analysis on Intervals, Springer India, doi:10.1007/978-81-322-2148-7, ISBN 978-81-322-2148-7 
• Christopher, Essex (2013), Calculus: A complete course, Pearson, p. 682, ISBN 9780321781079, OCLC 872345701 
• Courant, Richard; John, Fritz (22 decembrie 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4613-8955-2, ISBN 978-3-540-65058-4