Câmp vectorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Câmp vectorial dat de vectori de forma (−y, x)

În matematică un câmp vectorial, sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian.

Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe, cum ar fi forța magnetică sau gravitațională, și variațiile acestora de la punct la punct.

Definiție matematică[modificare | modificare sursă]

Funcția vectorială:

 \vec v (P) = \vec v (x, y, z)  (1.1)

definită pentru punct   P (x, y, z) \in D   (unde   D   este o submulțime a spațiului euclidian   \mathcal E_3   ) se numește câmp vectorial.

Linii și suprafețe de câmp[modificare | modificare sursă]

O curbă   ( \Gamma )   situată în   D   se numește linie de câmp pentru câmpul vectorial   \vec v (P)   dacă în fiecare punct   P   al său vectorul   \vec v (P)   este tangent curbei.

Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:

  \vec v \times d \vec r=0  (2.1)

sau ale sistemului diferențial:

 \frac {dx}{v_1 (x, y, z) } = \frac {dy}{v_2 (x, y, z) } = \frac {dz}{v_3 (x, y, z) }.  (2.2)

O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp.

Dacă   F_1 (x, y, z) = C_1, \; F_2 (x, y, z) = C_2, \; (C_1, C_2 = const),   sunt soluții ale sistemului (2.2), atunci:

 \Phi (F_1, F_2) = 0  (2.3)

este o suprafață de câmp.

Divergență, rotor, gradient[modificare | modificare sursă]

Expresia:

 div \; \vec v  = \vec i \cdot  \frac {\partial \vec v}{\partial x} + \vec j \cdot \frac {\partial \vec v}{\partial y} + \vec k \cdot \frac {\partial \vec v}{\partial z}  (3.1)

se numește divergența câmpului vectorial diferențiabil   \vec v (P).

Notând   v_1, v_2, v_3   componentele câmpului vectorial   \vec v (P),   există relația:

 div \; \vec v= \frac {\partial v_1}{\partial x} + \frac {\partial v_2}{\partial y} + \frac {\partial v_3}{\partial z}.  (3.2)

Vectorul de componente:

 \frac {\partial v_3}{\partial y} - \frac {\partial v_2}{\partial z}, \;  \frac {\partial v_1}{\partial z} - \frac {\partial v_3}{\partial x}, \;  \frac {\partial v_2}{\partial x} - \frac {\partial v_1}{\partial y}  (3.3)

se numește rotorul câmpului vectorial diferențiabil   \vec v (P) și se notează   rot \; \vec v.  

Există relația:

 rot \; \vec v  = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ v_1 & v_2 & v_3  \end{vmatrix}  (3.4)

și

 rot \; \vec v = \nabla \times \vec v,  (3.5)

unde   \nabla   este operatorul nabla.

Relații între operatori[modificare | modificare sursă]

 grad (\varphi + \psi) = grad \; \varphi + grad \; \psi,  (4.1)
 grad (\varphi \cdot \psi) = \varphi \cdot grad \; \psi + \psi \cdot grad \; \varphi,  (4.2)
 div (\vec u + \vec v) = div \; \vec u + div \; \vec v,  (4.3)
 div (\varphi \cdot \vec v) = \varphi \cdot div \; \vec v + \vec v \cdot grad \; \varphi ,  (4.4)
 div (\vec u \times \vec v ) = \vec v \cdot rot \; \vec u - \vec u \cdot rot \; \vec v ,  (4.5)
 rot (\vec u + \vec v) = rot \; \vec u + rot \; \vec v,  (4.6)
 rot (\varphi \cdot \vec v) = \varphi \cdot rot \; \vec v - \vec v \times grad \; \varphi,  (4.7)
 grad (\vec u \cdot \vec v) = \vec v \times rot \; \vec u + \vec u \times rot \; \vec v + (\vec v \cdot  \vec \nabla) \cdot \vec u + ( \vec u \cdot  \vec \nabla ) \cdot \vec v,  (4.8)
 rot (\vec u \times \vec v) = \vec u \cdot div \; \vec v - \vec v \cdot div \; \vec u  +  (\vec v \cdot \vec \nabla ) \cdot \vec u - (\vec u \cdot \vec \nabla) \cdot \vec v,  (4.9)
 div (grad \; \varphi) = \frac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} + \frac {\partial^2 \varphi} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 \varphi} {\partial z^2} = \Delta \varphi ,  (4.10)
 rot (grad \; \varphi ) = 0,  (4.11)
 div (rot \; \vec v) =0,  (4.12)
 rot (rot \; \vec v) = grad (div \; \vec v) - \Delta \vec v.  (4.13)

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:

 \vec v= xy^2 \cdot \vec i + x^2 y \cdot \vec j + z (x^2 + y^2) \cdot \vec k  (5.1)

și suprafața de câmp care trece prin curba:

 x=2y, \; z=a.  (5.2)

Rezolvare. Sistemul diferențial al liniilor de câmp este:

 \frac {dx}{xy^2} = \frac {dy}{yx^2 } = \frac {dz}{z(x^2+ y^2)}  (5.3)

și se reduce la:

 \begin{cases} y \cdot dx - x \cdot dy = 0  \\ \frac {dx}{x} + \frac {dy}{y} = \frac {dz}{z} \end{cases}  (5.4)

Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:

 x^2-y^2= C_1

 \frac {z}{xy} = C_2.

 (5.5)

Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2). Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația   x=2y,   se obține   y^2 = \frac {C_1}{3},   iar din ecuația a doua de la (5.5), folosind ecuațiile (5.2) se obține   y^2 = \frac {a}{2C_2}.  

Din relațiile   y^2 = \frac {C_1}{3}   și   y^2 = \frac {a}{2C_2}   se obține relația de condiție   2 C_1 C_2 = 3a.  

Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor   C_1   și   C_2   între ecuațiile liniilor de câmp și această relație:

 2z(x^2 - y^2) - 3axy =0.  (5.6)

Vezi și[modificare | modificare sursă]