Câmp vectorial

Acest articol se referă la o noțiune din calculul vectorial. Pentru alte sensuri, vedeți Câmp (dezambiguizare).

Câmp vectorial dat de vectori de forma (−y, x)

În matematică un câmp vectorial, sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian.

Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe, cum ar fi forța magnetică sau gravitațională, și variațiile acestora de la punct la punct.

Definiție matematică

Funcția vectorială:

${\vec {v}}(P)={\vec {v}}(x,y,z)$

$(1.1)$

definită pentru punct  $P(x,y,z)\in D$  (unde  $D$  este o submulțime a spațiului euclidian  ${\mathcal {E}}_{3}$ ) se numește câmp vectorial.

Linii și suprafețe de câmp

O curbă  $(\Gamma )$  situată în  $D$  se numește linie de câmp pentru câmpul vectorial  ${\vec {v}}(P)$  dacă în fiecare punct  $P$  al său vectorul  ${\vec {v}}(P)$  este tangent curbei.

Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:

${\vec {v}}\times d{\vec {r}}=0$

$(2.1)$

sau ale sistemului diferențial:

${\frac {dx}{v_{1}(x,y,z)}}={\frac {dy}{v_{2}(x,y,z)}}={\frac {dz}{v_{3}(x,y,z)}}.$

$(2.2)$

O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp.

Dacă  $F_{1}(x,y,z)=C_{1},\;F_{2}(x,y,z)=C_{2},\;(C_{1},C_{2}=const),$  sunt soluții ale sistemului (2.2), atunci:

$\Phi (F_{1},F_{2})=0$

$(2.3)$

este o suprafață de câmp.

Divergență, rotor, gradient

Expresia:

$div\;{\vec {v}}={\vec {i}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x}}+{\vec {j}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial y}}+{\vec {k}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial z}}$

$(3.1)$

se numește divergența câmpului vectorial diferențiabil  ${\vec {v}}(P).$

Notând  $v_{1},v_{2},v_{3}$  componentele câmpului vectorial  ${\vec {v}}(P),$  există relația:

$div\;{\vec {v}}={\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{3}}{\partial z}}.$

$(3.2)$

Vectorul de componente:

${\frac {\partial v_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial z}},\;{\frac {\partial v_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x}},\;{\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}$

$(3.3)$

se numește rotorul câmpului vectorial diferențiabil  ${\vec {v}}(P)$ și se notează  $rot\;{\vec {v}}.$ 

Există relația:

$rot\;{\vec {v}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}$

$(3.4)$

și

$rot\;{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}},$

$(3.5)$

unde  $\nabla$  este operatorul nabla.

Relații între operatori

$grad(\varphi +\psi )=grad\;\varphi +grad\;\psi ,$

$(4.1)$

$grad(\varphi \cdot \psi )=\varphi \cdot grad\;\psi +\psi \cdot grad\;\varphi ,$

$(4.2)$

$div({\vec {u}}+{\vec {v}})=div\;{\vec {u}}+div\;{\vec {v}},$

$(4.3)$

$div(\varphi \cdot {\vec {v}})=\varphi \cdot div\;{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot grad\;\varphi ,$

$(4.4)$

$div({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {v}}\cdot rot\;{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot rot\;{\vec {v}},$

$(4.5)$

$rot({\vec {u}}+{\vec {v}})=rot\;{\vec {u}}+rot\;{\vec {v}},$

$(4.6)$

$rot(\varphi \cdot {\vec {v}})=\varphi \cdot rot\;{\vec {v}}-{\vec {v}}\times grad\;\varphi ,$

$(4.7)$

$grad({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})={\vec {v}}\times rot\;{\vec {u}}+{\vec {u}}\times rot\;{\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {u}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {v}},$

$(4.8)$

$rot({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot div\;{\vec {v}}-{\vec {v}}\cdot div\;{\vec {u}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {v}},$

$(4.9)$

$div(grad\;\varphi )={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=\Delta \varphi ,$

$(4.10)$

$rot(grad\;\varphi )=0,$

$(4.11)$

$div(rot\;{\vec {v}})=0,$

$(4.12)$

$rot(rot\;{\vec {v}})=grad(div\;{\vec {v}})-\Delta {\vec {v}}.$

$(4.13)$

Exemplu

Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:

${\vec {v}}=xy^{2}\cdot {\vec {i}}+x^{2}y\cdot {\vec {j}}+z(x^{2}+y^{2})\cdot {\vec {k}}$

$(5.1)$

și suprafața de câmp care trece prin curba:

$x=2y,\;z=a.$

$(5.2)$

Rezolvare. Sistemul diferențial al liniilor de câmp este:

${\frac {dx}{xy^{2}}}={\frac {dy}{yx^{2}}}={\frac {dz}{z(x^{2}+y^{2})}}$

$(5.3)$

și se reduce la:

${\begin{cases}x\cdot dx-y\cdot dy=0\\{\frac {dx}{x}}+{\frac {dy}{y}}={\frac {dz}{z}}\end{cases}}$

$(5.4)$

Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:

$x^{2}-y^{2}=C_{1}$ ${\frac {z}{xy}}=C_{2}.$

$(5.5)$

Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2). Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația  $x=2y,$  se obține  $y^{2}={\frac {C_{1}}{3}},$  iar din ecuația a doua de la (5.5), folosind ecuațiile (5.2) se obține  $y^{2}={\frac {a}{2C_{2}}}.$ 

Din relațiile  $y^{2}={\frac {C_{1}}{3}}$  și  $y^{2}={\frac {a}{2C_{2}}}$  se obține relația de condiție  $2C_{1}C_{2}=3a.$ 

Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor  $C_{1}$  și  $C_{2}$  între ecuațiile liniilor de câmp și această relație:

$2z(x^{2}-y^{2})-3axy=0.$

$(5.6)$

Vezi și

• Câmp scalar