Câmp vectorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Câmp vectorial dat de vectori de forma (−y, x)

În matematică un câmp vectorial, sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian.

Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe, cum ar fi forța magnetică sau gravitațională, și variațiile acestora de la punct la punct.

Definiție matematică[modificare | modificare sursă]

Funcția vectorială:

definită pentru punct    (unde    este o submulțime a spațiului euclidian   ) se numește câmp vectorial.

Linii și suprafețe de câmp[modificare | modificare sursă]

O curbă    situată în    se numește linie de câmp pentru câmpul vectorial    dacă în fiecare punct    al său vectorul    este tangent curbei.

Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:

sau ale sistemului diferențial:

O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp.

Dacă    sunt soluții ale sistemului (2.2), atunci:

este o suprafață de câmp.

Divergență, rotor, gradient[modificare | modificare sursă]

Expresia:

se numește divergența câmpului vectorial diferențiabil  

Notând    componentele câmpului vectorial    există relația:

Vectorul de componente:

se numește rotorul câmpului vectorial diferențiabil   și se notează   

Există relația:

și

unde    este operatorul nabla.

Relații între operatori[modificare | modificare sursă]

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:

și suprafața de câmp care trece prin curba:

Rezolvare. Sistemul diferențial al liniilor de câmp este:

și se reduce la:

Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:

Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2). Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația    se obține    iar din ecuația a doua de la (5.5), folosind ecuațiile (5.2) se obține   

Din relațiile    și    se obține relația de condiție   

Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor    și    între ecuațiile liniilor de câmp și această relație:

Vezi și[modificare | modificare sursă]