Octonion

În matematică, octonionul este o diviziune algebrică normată de-a lungul numerelor reale, acesta este reprezentat de majuscula O ( $\mathbb {O}$ ). Există doar patru algebre, celelalte trei fiind cele care se bazează pe numere reale ( $\mathbb {R}$ ), numere complexe ( $\mathbb {C}$ ) și cuaternioni ( $\mathbb {H}$ ). Octonionii reprezintă cea mai largă algebră cunoscută având, în total, un număr de 8 dimensiuni, dublu față de cuaternioni.

Octonionii nu sunt la fel de bine cunoscuți precum cuaternionii sau ca numerele complexe, care sunt mai larg studiate și folosite, în schimb ele au unele proprietăți interesante și sunt strâns legate de o serie de structuri matematice, cum ar fi Grupurile Lie. În plus, octonionii au aplicații în domenii precum teoria coardelor, cea a relativității generale și logica cuantică.

Istorie[modificare | modificare sursă]

Octonionii au fost descoperiți în anul 1843 de către John T. Graves, fiind inspirat de marea descoperire a cuaternionilor de către prietenul său William Rowan Hamilton. Graves i-a numit octave. Ei au fost descoperiți, în mod independent, de Arthur Cayley^[1] și uneori sunt menționați a fi numere Cayley sau algebra Cayley.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Octonionii pot fi considerați ca octeți de numere reale. Fiecare octonion este o adevarată combinație liniară:

\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},\,

unde e₀ este un element real sau scalar, care poate fi identificat cu numărul real 1. Astfel, fiecare octonion x poate fi scris sub forma:

x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,

cu coeficienții reali{x_i}.

Adunarea și scăderea octonionilor se face prin adăugarea și scăderea termenilor corespunzători și a coeficienților lor, cum ar fi cuaternionii. Înmulțirea este distributivă, astfel încât produsul a doi octonioni poate fi calculat prin însumarea produsului tuturor termenilor. Produsul fiecărui termen poate fi dat prin înmulțirea coeficienților și o tablă de înmulțire a octonionilor, cum ar fi aceasta:^[2]

$\times$	$e 0$	$e 1$	$e 2$	$e 3$	$e 4$	$e 5$	$e 6$	$e 7$
$e 0$	$e 0$	$e 1$	$e 2$	$e 3$	$e 4$	$e 5$	$e 6$	$e 7$
$e 1$	$e 1$	$- e 0$	$e 3$	$- e 2$	$e 5$	$- e 4$	$- e 7$	$e 6$
$e 2$	$e 2$	$- e 3$	$- e 0$	$e 1$	$e 6$	$e 7$	$- e 4$	$- e 5$
$e 3$	$e 3$	$e 2$	$- e 1$	$- e 0$	$e 7$	$- e 6$	$e 5$	$- e 4$
$e 4$	$e 4$	$- e 5$	$- e 6$	$- e 7$	$- e 0$	$e 1$	$e 2$	$e 3$
$e 5$	$e 5$	$e 4$	$- e 7$	$e 6$	$- e 1$	$- e 0$	$- e 3$	$e 2$
$e 6$	$e 6$	$e 7$	$e 4$	$- e 5$	$- e 2$	$e 3$	$- e 0$	$- e 1$
$e 7$	$e 7$	$- e 6$	$e 5$	$e 4$	$- e 3$	$- e 2$	$e 1$	$- e 0$

Cele mai multe elemente di afara diagonalei din tabel sunt antisimetrice ceea ce face aproape o matrice oblic-simetrică cu excepția elementelor de pe diagonala principală, de pe rândul și de pe coloana în care $e 0$ este un operand.

Astfel, tabelul poate fi rezumat prin următoarele relații:^[3]

e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,

unde $\varepsilon _{ijk}$ este un tensor complet antisimetric cu valoarea +1 atunci când ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 și:

e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},\,

cu e₀ elementul scalar și i, j, k = 1 ... 7.

Definiția de mai sus este doar unul din 480 de posibilități de posibile definiții pentru înmulțirea octonionilor. Ceilalți pot fi obținuți prin permutarea elementelor care nu sunt scalare, astfel încât pot fi considerați a avea diferite baze. Alternativ ele pot fi obținute prin fixarea regulii produsului pentru niște termeni și deducerea restului din alte proprietăți ale octonionilor. Cele 480 de algebre diferite sunt izomorfe, deci sunt identice și este rareori o nevoie de a lua în considerare care regulă de înmulțire particulară este folosită.^[4]^[5]

Construcția Cayley-Dickson[modificare | modificare sursă]

Un mod mai sistematic de definire a octonionilor este prin intermediul Construcției Cayley-Dickson. Așa cum cuaternionii pot fi definiți ca perechi de numere complexe, așa și octonionii pot fi definiți ca perechi de cuaternioni. Astfel, produsul a două perechi de cuaternioni (a, b) și (c, d) este definit prin

\ (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})

unde $z^{*}$ denotă conjugarea cuaternionului z. Această definiție este echivalentă cu cea mai de sus, atunci când opt octonioni unitari sunt identici cu perechile

(1,0), (i,0), (j,0), (k,0), (0,1), (0,i), (0,j), (0,k)

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Înmulțirea octonionilor nu este nici comutativă:

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\neq e_{j}e_{i}\,

dacă

i,j\neq 0

nici asociativă:

(e_{i}e_{j})e_{k}=-e_{i}(e_{j}e_{k})\neq e_{i}(e_{j}e_{k})\,

dacă

i,j,k\neq 0

Octonionii satisfac o formă slabă de asociativitate: ei sunt alternativi. Acest lucru înseamnă că subalgebra generată de oricare două elemente este asociativa. De fapt, se poate demonstra că subalgebra generată de oricare două elemente ale O este izomorfă pentru R, C și H. Datorită non-asociativitații lor, octonionii nu au reprezentări matrice, spre deosebire de cuaternioni. Totuși, octonionii păstrează o proprietate foarte importantă dată de R,C și H: norma pe O satisface

\|xy\|=\|x\|\|y\|

Acest lucru implică faptul că octonionii formează o non-asociativitate bazată pe diviziunea algebră normată. Algebrele cu dimensiunile mai mari definite de Construcția Cayley-Dickson nu îndeplinesc această proprietate. Se pare că doar diviziunea algebrei normate de-a lungul numerelor reale sunt:R,C,H și O. Aceste patru algebre constituie singura alternativă a diviziunii algebrei finit-dimensionale de-a lungul numerelor reale (până la izomorfism). Nefiind asociative, elementele nenule ale octonionului nu formează un grup. Cu toate acestea, ele formează o buclă (Bucla Moufang).

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Cayley numbers”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

Referințe[modificare | modificare sursă]

^ Format:Harvs
^ This table is due to Arthur Cayley (1845) and John T. Graves (1843). See G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009), „Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable”, În Irene Sabadini, M Shapiro, F Sommen, Hypercomplex analysis (ed. Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings), Birkaüser, p. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7
^ Lev Vasilʹevitch Sabinin, Larissa Sbitneva, I. P. Shestakov (2006), „§17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation”, Non-associative algebra and its applications, CRC Press, p. 235, ISBN 0-8247-2669-3
^ Rafał Abłamowicz, Pertti Lounesto, Josep M. Parra (1996), „§ Four ocotonionic basis numberings”, Clifford algebras with numeric and symbolic computations, Birkhäuser, p. 202, ISBN 0-8176-3907-1
^ Jörg Schray, Corinne A. Manogue (1996), „Octonionic representations of Clifford algebras and triality”, Foundations of physics, Springer, 26 (Number 1/January): 17–70, doi:10.1007/BF02058887. ^{[nefuncțională]} Available as ArXive preprint Figure 1 is located here.

[1] Format:Harvs

[Cayley-2] This table is due to Arthur Cayley (1845) and John T. Graves (1843). See G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009), „Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable”, În Irene Sabadini, M Shapiro, F Sommen, Hypercomplex analysis (ed. Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings), Birkaüser, p. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7

[Shestakov-3] Lev Vasilʹevitch Sabinin, Larissa Sbitneva, I. P. Shestakov (2006), „§17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation”, Non-associative algebra and its applications, CRC Press, p. 235, ISBN 0-8247-2669-3

[Parra-4] Rafał Abłamowicz, Pertti Lounesto, Josep M. Parra (1996), „§ Four ocotonionic basis numberings”, Clifford algebras with numeric and symbolic computations, Birkhäuser, p. 202, ISBN 0-8176-3907-1

[Manogue-5] Jörg Schray, Corinne A. Manogue (1996), „Octonionic representations of Clifford algebras and triality”, Foundations of physics, Springer, 26 (Number 1/January): 17–70, doi:10.1007/BF02058887. ^{[nefuncțională]} Available as ArXive preprint Figure 1 is located here.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]