Produs cartezian

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.

Noțiune prealabilă: perechi ordonate[modificare | modificare sursă]

Fie și două mulțimi nevide. Dacă iar atunci mulțimea se numește pereche ordonată și se notează cu

Perechile ordonate au proprietatea caractecteristică următoare: dacă iar atunci dacă și numai dacă și

Definiția produsului cartezian[modificare | modificare sursă]

Fie și două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea și mulțimea mulțimea

Fie mulțimea vidă, adică mulțimea care nu conține niciun element. Atunci nu există niciun deci . Analog, și în particular .

Produsul cartezian se notează și

Proprietăți algebrice[modificare | modificare sursă]

Ca operație binară, produsul cartezian are următoarele proprietăți algebrice:

  • Este necomutativ, adică (cu excepția cazurilor sau sau ).
  • Conservă proprietatea de incluziune: dacă și, atunci
  • Este distributiv față de reuniune (), intersecție () și diferență ():
    • ;
    • ;
    • ;
    • ;
    • ;
    • .

Cardinal[modificare | modificare sursă]

Pentru orice mulțimi finite și cardinali mulțimilor , și — adică numere lor respective de elemente — verifică:

De fapt, această ecuație este adevărată pentru orice mulțimi (finite sau infinite), cu condiția ca înmulțirea să fi fost definită pentru numerele cardinale.

Generalizare la n mulțimi[modificare | modificare sursă]


Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
  • Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004.