Produs cartezian

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din ansamblul tuturor perechilor a căror primă componentă aparține mulțimii X, iar a doua componentă aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate generaliza facil și pentru cazul a n mulțimi.

Noțiuni introductive[modificare | modificare sursă]

Perechi ordonate[modificare | modificare sursă]

Fie și două mulțimi nevide. Dacă , iar , atunci mulțimea se numește pereche ordonată.

Perechea ordonată se notează cu .În acest caz se numește abscisa perechii ordonate , iar se numește ordonata perechii ordonate .

Teoremă[modificare | modificare sursă]

Fie și două mulțimi nevide. Dacă , iar , atunci dacă și numai dacă și .

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie și două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea și mulțimea , mulțimea

. Dacă atunci condiția este falsă, deci . Analog, și în particular .

Produsul cartezian se notează .

Produsul cartezian este necomutativ. În general , cu excepția cazurilor: sau sau .

Teoremă[modificare | modificare sursă]

Pentru orice mulțimi sunt adevărate afirmațiile:

  • Dacă și, atunci ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;

Dacă , iar , atunci:

.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  1. Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2008;
  2. Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2002.