Produs cartezian

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.

Noțiuni introductive

Perechi ordonate

Fie $\ A$ și $\ B$ două mulțimi nevide. Dacă $a\in A,$, iar $b\in B$, atunci mulțimea $\ \{\{a\},\ \{a,b\}\}$ se numește pereche ordonată.

Perechea ordonată $\ \{\{a\},\ \{a,b\}\}$ se notează cu $\ (a,b)$.În acest caz $\ a$ se numește abscisa perechii ordonate $\ (a,b)$, iar $\ b$ se numește ordonata perechii ordonate $\ (a,b)$.

Teoremă

Fie $\ A$ și $\ B$ două mulțimi nevide. Dacă $a,s\in A$, iar $b,t\in B$, atunci $\ (a,b)=(s,t)$ dacă și numai dacă $\ a=s$ și $\ b=t$.

Definiție

Fie $\ A$ și $\ B$ două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea $\ A$ și mulțimea $\ B$, mulțimea

$A\times B:=\{(a,b):a\in A,b\in B\}$. Dacă $A=\phi$ atunci condiția $a\in A$ este falsă, deci $\phi \times B=\phi$. Analog, $A\times \phi =\phi$ și în particular $\phi \times \phi =\phi$.

Produsul cartezian $A\times A$ se notează $\ A^{2}$.

Produsul cartezian este necomutativ, adică $\ A\times B\neq B\times A$, cu excepția cazurilor: $A=\phi$ sau $B=\phi$ sau $A=B$.

Proprietăți

Pentru orice mulțimi $\ A,\ B,\ C,\ D$ sunt adevărate următoarele afirmații privind produsele carteziene:

• Dacă $A\subseteq C$ și$B\subseteq D$, atunci $A\times B\subseteq C\times D$;
• $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$;
• $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$;
• $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$;
• $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$;
• $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$;
• $(A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)$;
• Intersecția produselor carteziene

• $(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)$;

• Diferența produselor carteziene

• $(A\times B)\setminus (C\times D)=[(A\setminus C)\times (B\setminus D)]\cup [(A\cap C)\times (B\setminus D)]\cup [(A\setminus C)\times (B\cap D)]$;
• $(A\times B)\setminus (C\times D)=[(A\setminus C)\times B]\cup [(A\cap C)\times (B\setminus D)$;

Dacă $A\subseteq X$, iar $B\subseteq Y$, atunci:

$C_{X\times Y}(A\times B)=(C_{X}A\times Y)\cup (A\times C_{Y}B)$.

Bibliografie

• Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
• Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004.