Produs vectorial

Acest articol se referă la produsul vectorial a doi vectori. Pentru concepte similare, vedeți Produs (dezambiguizare).

Aria unui paralelogram este corespondentul grafic al valorii scalare a unui produs vectorial a doi vectori.

Produsul vectorial a doi vectori ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ este o operație binară a doi vectori ${\vec {a}}$ și ${\vec {b}}$ într-un spațiu euclidian tridimensional (vedeți spațiu euclidian) în urma căreia rezultă un alt vector ${\vec {c}}$ care este perpendicular pe cei doi vectori inițiali iar mărimea vectorului ${\vec {c}}$ corespunde ariei paraleleogramului cu laturile ${\vec {a}}$ și ${\vec {b}}$ . Prin comparație, produsul scalar a doi vectori produce un rezultat care este un scalar. În cazul multor concepte și modelări din fizică și inginerie, este foarte practic să se exprime un fenomen sau o măsurabilă prin definirea sa ca un produs vectorial a doi vectori. Această operație este cunoscută și ca produsul vectorial Gibbs, după numele lui fizicianului și matematicianului american Josiah Willard Gibbs, cel care a inventat analiza vectorială.

Aflarea direcției vectorului care este rezultatul produsului vectorial cu ajutorul regulii mâinii drepte.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie vectorii ${\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}$ și $\varphi \in [0,\pi ]$ unghiul dintre aceștia dacă ${\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}\setminus \{{\vec {0}}\}.$

Se numește produs vectorial al vectorilor ${\vec {a}},{\vec {b}}$ vectorul:

{\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{cases}\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin \varphi \cdot {\vec {e}},&dac{\breve {a}}\;{\vec {a}}\;{\underset {,}{s}}i\;{\vec {b}}\;sunt\;necoliniari\\\;0\;\;,&dac{\breve {a}}\;{\vec {a}}\;{\underset {,}{s}}i\;{\vec {b}}\;sunt\;coliniari\end{cases}}

unde ${\vec {e}}$ este un versor perpendicular pe planul determinat de ${\vec {a}}$ și ${\vec {b}}$ având aceeași origine și orientat după regula burghiului și anume în sensul de înaintare a unui burghiu când ${\vec {a}}$ se rotește către ${\vec {b}}$ printr-un unghi minim.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Produsul vectorial are proprietățile:

1) ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}}),\;(\forall ){\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3};$ (anticomutativitate)

2) $\lambda ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times \lambda {\vec {b}},\;(\forall )\lambda \in \mathbb {R} ,\;{\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}.$

3) $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}},\;(\forall ){\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in {\mathcal {V}}_{3};$ (distributivitate față de adunarea vectorilor)

4) ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}},\;(\forall ){\vec {a}}\in {\mathcal {V}}_{3};$

5) $\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2};$ (identitatea lui Lagrange)

6) Dacă ${\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}},\;\;{\vec {b}}=b_{1}{\vec {i}}+b_{2}{\vec {j}}+b_{3}{\vec {k}},$ atunci:

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\vec {i}}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\vec {j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\vec {k}}=

={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}};

(expresia analitică a produsului vectorial)

7) $\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|$ este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentanților lui ${\vec {a}}$ și ${\vec {b}}$ având aceeași origine. Aria unui triunghi $ABC$ este dată de: