Produs vectorial

Acest articol se referă la produsul vectorial a doi vectori. Pentru concepte similare, vedeți Produs (dezambiguizare).

Aria unui paralelogram este corespondentul grafic al valorii scalare a unui produs vectorial a doi vectori.

Produsul vectorial a doi vectori ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ este o operație binară a doi vectori ${\vec {a}}$ și ${\vec {b}}$ într-un spațiu euclidian tridimensional (vedeți spațiu euclidian) în urma căreia rezultă un alt vector ${\vec {c}}$ care este perpendicular pe planul celor doi vectori inițiali iar modulul vectorului ${\vec {c}}$ corespunde ariei paralelogramului cu laturile ${\vec {a}}$ și ${\vec {b}}$. Prin comparație, produsul scalar a doi vectori produce un rezultat care este un scalar. În cazul multor concepte și modelări din fizică și inginerie, este foarte practic să se exprime un fenomen printr-o mărime produs vectorial a doi vectori. Această operație este cunoscută și ca produsul vectorial Gibbs, după numele lui fizicianului și matematicianului american Josiah Willard Gibbs, cel care a inventat analiza vectorială.

Aflarea direcției vectorului care este rezultatul produsului vectorial cu ajutorul regulii mâinii drepte.

Definiție

Fie vectorii  ${\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}$  și  $\varphi \in [0,\pi ]$  unghiul dintre aceștia dacă  ${\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}\setminus \{{\vec {0}}\}.$ 

Dacă vectorii sunt exprimați prin intermediul componentelor scalare înmulțite cu versorii axelor Ox, Oy, Oz

${\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}},\;\;{\vec {b}}=b_{1}{\vec {i}}+b_{2}{\vec {j}}+b_{3}{\vec {k}},$

atunci produsul vectorial este definit prin următoarea expresia analitică (în care apar doar produsele componentelor corespunzătoare versorilor diferiți):

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\vec {i}}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\vec {j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\vec {k}}=$

$={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}};$ 

Prin definiție pentru vectorii coliniari produsul vectorial are valoarea zero.

Pentru cazul simplificat al vectorilor plani (cu componentele corespunzătoare axei Oz nule) expresia analitică a produsului vectorial indică prezența în acesta doar a unei singure componente scalare nenule, corespunzătoare axei Oz sau echivalent, necoplanaritatea produsului vectorial cu termenii săi. Necoplanaritatea este mai ușor de sesizat în această situație simplificată.

Modulul produsul vectorial în funcție de modulele vectorilor individuali  ${\vec {a}},{\vec {b}}$  este dat de următoarele expresii:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{cases}\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin \varphi \cdot {\vec {e}},&dac{\breve {a}}\;{\vec {a}}\;{\underset {,}{s}}i\;{\vec {b}}\;sunt\;necoliniari\\\;0\;\;,&dac{\breve {a}}\;{\vec {a}}\;{\underset {,}{s}}i\;{\vec {b}}\;sunt\;coliniari\end{cases}}$

unde  ${\vec {e}}$  este un versor perpendicular pe planul determinat de  ${\vec {a}}$  și  ${\vec {b}}$  având aceeași origine și orientat după regula burghiului și anume în sensul de înaintare a unui burghiu când  ${\vec {a}}$  se rotește către  ${\vec {b}}$ .

Proprietăți

Produsul vectorial are proprietățile:

• ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}}),\;(\forall ){\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3};$  (anticomutativitate)

• $\lambda ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times \lambda {\vec {b}},\;(\forall )\lambda \in \mathbb {R} ,\;{\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}.$

• $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}},\;(\forall ){\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in {\mathcal {V}}_{3};$  (distributivitate față de adunarea vectorilor)

• ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}},\;(\forall ){\vec {a}}\in {\mathcal {V}}_{3};$

• $\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2};$  (identitatea lui Lagrange)

Utilizabilitate în geometrie

Modulul produsului vectorial a doi vectori $\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|$  este aria paralelogramului construit pe suporturile celor doi vectori  ${\vec {a}}$  și  ${\vec {b}}$  având același punct de aplicatie.

Aria unui triunghi  $ABC$  este dată de:

$A_{\vartriangle ABC}={\frac {1}{2}}\cdot \|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\|.$

Vezi și

• Produs scalar
• Produs cartezian — produs a două mulțimi.
• × (simbolul)

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Cross Product la MathWorld.
• en Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 (it is only possible in 7-D space)
• en Real and Complex Products of Complex Numbers
• en Vector Product Calculator Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
• en An interactive tutorial created at Syracuse University - (requires java)
• en W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).