Produs vectorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Acest articol se referă la produsul vectorial a doi vectori. Pentru concepte similare, vedeți Produs (dezambiguizare).
Aria unui paralelogram este corespondentul grafic al valorii scalare a unui produs vectorial a doi vectori.

Produsul vectorial a doi vectori este o operație binară a doi vectori și într-un spațiu euclidian tridimensional (vedeți spațiu euclidian) în urma căreia rezultă un alt vector care este perpendicular pe planul celor doi vectori inițiali iar modulul vectorului corespunde ariei paralelogramului cu laturile și . Prin comparație, produsul scalar a doi vectori produce un rezultat care este un scalar. În cazul multor concepte și modelări din fizică și inginerie, este foarte practic să se exprime un fenomen printr-o mărime produs vectorial a doi vectori. Această operație este cunoscută și ca produsul vectorial Gibbs, după numele lui fizicianului și matematicianului american Josiah Willard Gibbs, cel care a inventat analiza vectorială.

Aflarea direcției vectorului care este rezultatul produsului vectorial cu ajutorul regulii mâinii drepte.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie vectorii    și    unghiul dintre aceștia dacă   

Dacă vectorii sunt exprimați prin intermediul componentelor scalare înmulțite cu versorii axelor Ox, Oy, Oz

atunci produsul vectorial este definit prin următoarea expresia analitică (în care apar doar produsele componentelor corespunzătoare versorilor diferiți):

 

Prin definiție pentru vectorii coliniari produsul vectorial are valoarea zero.

Pentru cazul simplificat al vectorilor plani (cu componentele corespunzătoare axei Oz nule) expresia analitică a produsului vectorial indică prezența în acesta doar a unei singure componente scalare nenule, corespunzătoare axei Oz sau echivalent, necoplanaritatea produsului vectorial cu termenii săi. Necoplanaritatea este mai ușor de sesizat în această situație simplificată.

Modulul produsul vectorial în funcție de modulele vectorilor individuali    este dat de următoarele expresii:

unde    este un versor perpendicular pe planul determinat de    și    având aceeași origine și orientat după regula burghiului și anume în sensul de înaintare a unui burghiu când    se rotește către   .

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Produsul vectorial are proprietățile:

  •   (anticomutativitate)
  •   (distributivitate față de adunarea vectorilor)
  •   (identitatea lui Lagrange)

Utilizabilitate în geometrie[modificare | modificare sursă]

Modulul produsului vectorial a doi vectori   este aria paralelogramului construit pe suporturile celor doi vectori    și    având același punct de aplicatie.

Aria unui triunghi    este dată de:

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]