Produs vectorial

Acest articol se referă la produsul vectorial a doi vectori. Pentru concepte similare, vedeți Produs (dezambiguizare).

Aria unui paralelogram este corespondentul grafic al valorii scalare a unui produs vectorial a doi vectori.

Produsul vectorial a doi vectori ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ este o operație binară a doi vectori ${\vec {a}}$ și ${\vec {b}}$ într-un spațiu euclidian tridimensional (vedeți spațiu euclidian) în urma căreia rezultă un alt vector ${\vec {c}}$ care este perpendicular pe cei doi vectori inițiali iar mărimea vectorului ${\vec {c}}$ corespunde ariei paraleleogramului cu laturile ${\vec {a}}$ și ${\vec {b}}$. Prin comparație, produsul scalar a doi vectori produce un rezultat care este un scalar. În cazul multor concepte și modelări din fizică și inginerie este foarte practic să se exprime un fenomen sau o măsurabilă prin definirea sa ca un produs vectorial a doi vectori. Această operație este cunoscută și ca produsul vectorial Gibbs, după numele lui fizicianului și matematicianului american Josiah Willard Gibbs, cel care a inventat analiza vectorială.

Aflarea direcţiei vectorului care este rezultatul produsului vectorial cu ajutorul regulii mâinii drepte.

Definiție

Fie vectorii  ${\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}$  și  $\varphi \in [0,\pi ]$  unghiul dintre aceștia dacă  ${\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}\setminus \{{\vec {0}}\}.$ 

Se numește produs vectorial al vectorilor  ${\vec {a}},{\vec {b}}$  vectorul:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{cases}\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin \varphi \cdot {\vec {e}},&dac{\breve {a}}\;{\vec {a}}\;{\underset {,}{s}}i\;{\vec {b}}\;sunt\;necoliniari\\\;0\;\;,&dac{\breve {a}}\;{\vec {a}}\;{\underset {,}{s}}i\;{\vec {b}}\;sunt\;coliniari\end{cases}}$

unde  ${\vec {e}}$  este un versor perpendicular pe planul determinat de  ${\vec {a}}$  și  ${\vec {b}}$  având aceeași origine și orientat după regula burghiului și anume în sensul de înaintare a unui burghiu când  ${\vec {a}}$  se rotește către  ${\vec {b}}$  printr-un unghi minim.

Proprietăți

Produsul vectorial are proprietățile:

1)  ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}}),\;(\forall ){\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3};$  (anticomutativitate)

2)  $\lambda ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times \lambda {\vec {b}},\;(\forall )\lambda \in \mathbb {R} ,\;{\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}.$ 

3)  $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}},\;(\forall ){\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in {\mathcal {V}}_{3};$  (distributivitate față de adunarea vectorilor)

4)  ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}},\;(\forall ){\vec {a}}\in {\mathcal {V}}_{3};$ 

5)  $\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2};$  (identitatea lui Lagrange)

6) Dacă  ${\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}},\;\;{\vec {b}}=b_{1}{\vec {i}}+b_{2}{\vec {j}}+b_{3}{\vec {k}},$  atunci:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\vec {i}}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\vec {j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\vec {k}}=$

$={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}};$  (expresia analitică a produsului vectorial)

7)  $\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|$  este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentanților lui  ${\vec {a}}$  și  ${\vec {b}}$  având aceeași origine. Aria unui triunghi  $ABC$  este dată de:

$A_{\vartriangle ABC}={\frac {1}{2}}\cdot \|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\|.$

Vezi și

• Triple products — Products involving three vectors.
• Multiple cross products — Products involving more than three vectors.
• Produs scalar
• Produs cartezian — produs a două mulțimi.
• × (symbolul)

Legături externe

• Eric W. Weisstein, Cross Product la MathWorld.
• Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 (it is only possible in 7-D space)
• Real and Complex Products of Complex Numbers
• Vector Product Calculator Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
• An interactive tutorial created at Syracuse University - (requires java)
• W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).