Teorema cosinusului

În geometria plană, teorema cosinusului, cunoscută și sub numele de teorema lui Pitagora generalizată stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui triunghi în funcție de celelalte două laturi ale sale și cosinusul unghiului dintre ele. A fost demonstrată de Al-Kashi.

Enunț

Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.

Formula:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2(AB)(AC)\cos A\,$

$a^{2}=c^{2}+b^{2}-2cb\cos A\,$

sau:

$cos(BAC)=(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2})/(2AB*AC)$

unde AB=c, AC=b și BC=a sunt laturile triunghiului ABC.

Demonstrație bazată pe teorema lui Pitagora

Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii $c$, la fel ca în figura alăturată.. Fără a restrânge generalitatea, se construiește înălțimea corespunzătoare laturii $b$. Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice.

În triunghiul având ca ipotenuză latura $c$, se aplică teorema lui Pitagora, apoi se folosește identitatea trigonometrică: $\quad \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.$

${\begin{aligned}\quad c^{2}&=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}$