Teorema cosinusului

În geometria plană, teorema cosinusului, cunoscută și sub numele de teorema lui Pitagora generalizată stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui triunghi în funcție de celelalte două laturi ale sale și cosinusul unghiului dintre ele.

Enunț

Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.

Formula:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A\,$

$a^2 = c^2 + b^2 - 2cb\cos A\,$

sau:

$cos(ABC)=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB*BC)$

unde AB=c, AC=b și BC=a sunt laturile triunghiului ABC.

Demonstrație bazată pe teorema lui Pitagora

Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii $c$, la fel ca în figura alăturată.. Fără a restrânge generalitatea, se construiește și înălțimea opusă laturii $b$. Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice. În triunghiul având ca ipotenuză latura $c$, se aplică teorema lui Pitagora:

$\,c^2 = (a\sin\gamma)^2 + (b-a\cos\gamma)^2$,

ceea ce este echivalent cu formula enunțată.