Inel (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un inel este o structură algebrică formată dintr-o mulțime suport și două operații binare, definite pe produsul cartezian cu valori în , numite convențional (sau operația aditivă) și (sau operația multiplicativă), astfel încât:

  1. formează un grup comutativ sau abelian. Elementul neutru al lui se notează în general cu .
  2. formează un monoid.
  3. Se îndeplinește proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, adică pentru orice :

Termenul a fost introdus în 1897 de David Hilbert.[1]

Definiții[modificare | modificare sursă]

Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică

atunci inelul este un inel comutativ.

Dacă și înmulțirea admite element neutru, adică

atunci inelul este inel cu unitate sau inel unitar.

Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește inel integru (sau domeniu de integritate).[2]

Un inel în care orice element (în afară de ) are invers față de înmulțire se numește corp.

Elementul neutru în raport cu operația se notează și se numește elementul nul, iar simetricul lui în raport cu adunarea se notează și se numește opusul lui . În loc de , vom nota .

Dacă este inel unitar, atunci elementele lui simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile .

Se notează cu mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar , adică

Fie un inel. Două elemente se numesc permutabile dacă . Un element se numește element central dacă el permută cu orice element din inelul . Mulțimea

a tuturor elementelor centrale din se numește centrul inelului .

Exemple de inele[modificare | modificare sursă]

  1. Inelul numerelor întregi
    este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar .
  2. Inelul numerelor raționale
    este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus .
  3. Inelul numerelor reale
    este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus .
  4. Inelul numerelor complexe
    este inel comutativ cu .
  5. Inelul al claselor de resturi modulo n.
    este inel comutativ, iar .

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Fie un inel. Atunci pentru , avem:

  1. și
  2. Dacă este inel cu unitate, atunci
  3. Dacă ,atunci definim și . Pentru , avem .

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Math93, Une histoire des Mathématiques
  2. ^ Ioan Purdea, Gheorghe Pic, Tratat de algebră modernă, Vol. 1, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1977, p. 219

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
  • Vasile Popuța, Algebră. Curs elementar de structuri fundamentale, Editura Mirton, Timișoara, 1998.

Vezi și[modificare | modificare sursă]