Teoria reprezentării

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

Teoria reprezentării este o ramură a matematicii care studiază structurile algebrice⁠(d) abstracte reprezentând elementele acestora sub forma unor transformări liniare de spații vectoriale și studiază modulele⁠(d) peste aceste structuri algebrice abstracte.[1] În esență, o reprezentare face un obiect algebric abstract mai concret prin descrierea elementelor sale prin matrice și prin operații algebrice⁠(d) în termeni de adunări⁠(d) și înmulțiri de matrice⁠(d). Printre obiectele algebrice care fac obiectul unei astfel de descrieri se numără grupuri, algebre asociative⁠(d) și algebre Lie⁠(d). Cea mai proeminentă dintre ele (și istoric prima) este teoria reprezentării grupurilor, în care elementele unui grup sunt reprezentate prin matrice inversabile astfel încât operația grupului este o înmulțire matriceală.[2]

Teoria reprezentării este o metodă utilă deoarece reduce problemele din algebra abstractă la probleme de algebră liniară, un subiect mai bine înțeles.[3] În plus, spațiul vectorial pe care este reprezentat un grup (de exemplu) poate fi infinit-dimensional și, permițându-i-se să fie, de exemplu, un spațiu Hilbert, metodele de analiză pot fi aplicate teoriei grupurilor.[4] Teoria reprezentării este importantă și în fizică, deoarece, de exemplu, ea descrie modul în care grupul de simetrie al unui sistem fizic afectează soluțiile ecuațiilor care descriu acest sistem.[5]

Teoria reprezentării este larg răspândită în domeniile matematicii, din două motive. În primul rând, aplicațiile teoriei reprezentării sunt diverse: [6] pe lângă impactul său asupra algebrei, teoria reprezentării:

În al doilea rând, există diverse abordări ale teoriei reprezentării. Aceleași obiecte pot fi studiate folosind metode din geometria algebrică, teoria modulelor⁠(d), teoria analitică a numerelor⁠(d), geometria diferențială, teoria operatorilor⁠(d), combinatorica algebrică⁠(d) și topologie.[10]

Succesul teoriei reprezentării a dus la numeroase generalizări. Unul dintre cele mai generale este în teoria categoriilor.[11] Obiectele algebrice la care se aplică teoria reprezentării pot fi privite ca anumite tipuri de categorii, iar reprezentările ca functori de la categoria obiect la categoria spațiilor vectoriale⁠(d). Această descriere indică două generalizări evidente: în primul rând, obiectele algebrice pot fi înlocuite cu mai multe categorii generale; în al doilea rând, categoria țintă a spațiilor vectoriale poate fi înlocuită de alte categorii bine înțelese.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Texte clasice de teoria reprezentării sunt Curtis & Reiner (1962) și Serre (1977). Alte surse excelente sunt Fulton & Harris (1991) și Goodman & Wallach (1998).
  2. ^ Pentru istoria teoriei reprezentării grupurilor finite, vezi Lam (1998). Pentru grupuri algebrice și Lie, vezi Borel (2001).
  3. ^ Există multe cărți despre spații vectoriale și algebră liniară. Pentru o tratare avansată, vezi Kostrikin & Manin (1997).
  4. ^ Sally & Vogan 1989. .
  5. ^ Sternberg 1994. .
  6. ^ Lam 1998, p. 372. .
  7. ^ Folland 1995. .
  8. ^ Goodman & Wallach 1998. , Olver 1999. , Sharpe 1997. .
  9. ^ Borel & Casselman 1979. , Gelbart 1984. .
  10. ^ Vezi notele de subsol anterioare, precum și Borel (2001).
  11. ^ Simson, Skowronski & Assem 2007. .

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Alperin, J. L. (), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups (în engleză), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7 .
  • Bargmann, V. (), „Irreducible unitary representations of the Lorenz group”, Annals of Mathematics (în engleză), 48 (3): 568–640, doi:10.2307/1969129, JSTOR 1969129 .
  • Borel, Armand (), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups (în engleză), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5 .
  • Borel, Armand; Casselman, W. (), Automorphic Forms, Representations, and L-functions (în engleză), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1435-2 .
  • Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (), Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7 .
  • Gelbart, Stephen (), „An Elementary Introduction to the Langlands Program”, Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2): 177–219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 .
  • Folland, Gerald B. (), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5 .
  • Fulton, William; Harris, Joe (). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (în engleză). 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103. .
  • Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9 .
  • Gordon, James; Liebeck, Martin (), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44590-0 .
  • Hall, Brian C. (), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (ed. 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666 
  • Helgason, Sigurdur (), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7 
  • Humphreys, James E. (), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 .
  • Humphreys, James E. (), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773 
  • Jantzen, Jens Carsten (), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2 .
  • Kac, Victor G. (), „Lie superalgebras”, Advances in Mathematics, 26 (1): 8–96, doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
  • Kac, Victor G. (), Infinite Dimensional Lie Algebras (ed. 3rd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6 .
  • Knapp, Anthony W. (), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4 .
  • Kim, Shoon Kyung (), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6 .
  • Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7 .
  • Lam, T. Y. (), „Representations of finite groups: a hundred years”, Notices of the AMS, 45 (3,4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II) .
  • Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Traducere în engleză din ediția 1985 în rusă (Harkov, URSS). Birkhäuser Verlag. 1988.
  • Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] (în engleză), 34 (ed. 3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 0214602 ; MR0719371 (2nd ed.); MR1304906 (ed. a treia)
  • Olver, Peter J. (), Classical invariant theory (în engleză), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55821-1 .
  • Peter, F.; Weyl, Hermann (), „Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe”, Mathematische Annalen (în germană), 97 (1): 737–755, doi:10.1007/BF01447892, arhivat din original la  .
  • Pontrjagin, Lev S. (), „The theory of topological commutative groups”, Annals of Mathematics (în engleză), 35 (2): 361–388, doi:10.2307/1968438, JSTOR 1968438 .
  • Sally, Paul; Vogan, David A. (), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups (în engleză), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1526-7 .
  • Serre, Jean-Pierre (), Linear Representations of Finite Groups (în engleză), Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909 .
  • Sharpe, Richard W. (), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program (în engleză), Springer, ISBN 978-0-387-94732-7 .
  • Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras (în engleză), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7 .
  • Sternberg, Shlomo (), Group Theory and Physics (în engleză), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3 .
  • Tung, Wu-Ki (). Group Theory in Physics (în engleză) (ed. 1st). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577. 
  • Weyl, Hermann (), Gruppentheorie und Quantenmechanik (în engleză) (ed. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN 978-0-486-60269-1 .
  • Weyl, Hermann (), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (în engleză) (ed. 2nd), Princeton University Press (retipărit în 1997), ISBN 978-0-691-05756-9 .
  • Wigner, Eugene P. (), „On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group”, Annals of Mathematics (în engleză), 40 (1): 149–204, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551 .