Spațiu Minkowski

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În fizică și matematică, spațiul Minkowski (sau spațiul-timp Minkowski) este contextul matematic în care se formulează cel mai convenabil teoria relativității restrânse a lui Einstein. În acest context, cele trei dimensiuni obișnuite ale spațiului sunt combinate cu o a patra dimensiune a timpului pentru a forma o varietate tetradimensională pentru a reprezenta spațiul-timp. Spațiul Minkowski își trage numele de la matematicianului german Hermann Minkowski.

În fizica teoretică, spațiul Minkowski este adesea comparat cu un spațiu euclidian. În timp ce spațiul euclidian are doar dimensiuni spațiale, un spațiu Minkowski are și o dimensiune temporală. Astfel grupul simetric al unui spațiu euclidian este grupul euclidian iar pentru un spațiu Minkowski este grupul Poincaré.


Structură[modificare | modificare sursă]

Formal, spațiul Minkowski este un spațiu vectorial real echipat cu o formă biliniară nedegenerată simetrică cu signatură metrică (−,+,+,+) (Uneori se preferă și signatura (+,−,−,−)). Cu alte cuvinte, spațiul Minkowski este un spațiu pseudoeuclidian cu n = 4 și nk = 1 (într-o definiție mai largă este permis orice n>1). Elementele spațiului Minkowski se numesc evenimente sau tetravectori. Spațiul Minkowski se notează adesea cu R1,3 pentru a evidenția signatura, deși se notează și cu M4 sau doar cu M. Este poate cel mai simplu exemplu de varietate pseudoriemanniană.


Produsul scalar Minkowski[modificare | modificare sursă]

Acest produs scalar este similar cu produsul scalar euclidian, dar este folosit pentru a descrie o altă geometrie; geometria este de regulă asociată cu teoria relativității. Fie M un spațiu vectorial real tetradimensional. Produsul scalar Minkowski este o aplicație η: M × MR (adică dați fiind doi vectori v, w din M definim η(v,w) ca un număr real) care satisface proprietățile (1), (2), (3) de mai jos, ca și proprietatea (4):

1. biliniar η(au + v, w) = aη(u, w) + η(v, w)

oricare ar fi a ∈ R și u, v, w din M.

2 simetric η(v,w) = η(w,v)

oricare ar fi v,w din M.

3. nedegenerat dacă η(v,w) = 0 oricare ar fi wM atunci v = 0.

Se observă că acesta nu este un produs scalar în sens obișnuit, deoarece nu este pozitiv-definit, adică norma Minkowski a unui vector v, definită ca v2 = η(v,v), nu este neapărat pozitivă. Condiția de pozitiv-definire a fost înlocuită de o condiție mai slabă de nedegenerare (orice formă pozitiv-definită este nedegenerată dar nu și invers). Produsul scalar este astfel indefinit.

Ca și într-un spațiu euclidian, doi vectori v și w sunt considerați ortogonali dacă η(v, w) = 0. Dar există o deplasare de paradigmă în spațiul Minkowski care include evenimente hiperbolic-ortogonale în cazul în care v și w generează un plan în care η ia valori negative. Această deplasare spre o nouă paradigmă este clarificată prin compararea structurii euclidiene a planului complex cu structura planului numerelor complexe hiperbolice.

Un vector v se numește vector unitate dacă v2 = ±1. O bază pentru M constând din vectori unitari ortogonali doi câte doi se numește bază ortonormală.

Există o teoremă care afirmă că orice spațiu prehilbertian care satisface condițiile de la 1 la 3 de mai sus are întotdeauna o bază ortonormală. Mai mult, teorema afirmă că numărul de vectori unitari pozitivi și negativi din orice astfel de bază este fix.

A patra condiție asupra lui \eta poate fi enunțată astfel:

4. signatura Forma biliniară η are signatura (-,+,+,+)