Minor (algebră liniară)

În algebra liniară, un minor al unei matrice este determinantul unei submatrice pătrată obținute prin alegerea aceluiași număr de linii și coloane. Noțiunea sintetizează determinantul unei matrice pătrată și este unul dintre cele mai eficiente instrumente pentru studiul rangului, pentru analiza determinantului și pentru aplicarea criteriilor de compatibilitate ale sistemelor de ecuații liniare.

Definiție și notație

Fie $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$, unde $K$ este un corp comutativ. Considerăm două mulțimi de indici $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ și $J=\{j_{1},\ldots ,j_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}$, cu proprietatea că $|I|=|J|=k$. Submatricea pătrată formată din liniile cu indicii din $I$ și coloanele cu indicii din $J$ are ordinul $k$. Determinantul acestei submatrici se numește minor de ordinul $k$ al matricei $A$. Un astfel de minor este notat cu $M_{i_{1}\ldots i_{k}}^{j_{1}\ldots j_{k}}(A)$.

Prin definiție, termenul minor desemnează determinantul unei submatrici pătrate și nu submatricea propriu-zisă. Astfel, submatricea reprezintă matricea obținută prin selectarea anumitor linii și coloane, în timp ce minorul este valoarea determinantului acesteia.

Dacă mulțimile de indici coincid, adică $I=J$, atunci minorul se numește minor principal. Pentru $I=J=\{1,2,\ldots ,k\}$, se obține minorul principal format din primele $k$ linii și primele $k$ coloane ale matricei. Un minor determinat de mulțimi diferite de indici nu este principal, chiar dacă are același ordin ca un minor principal al aceleiași matrice.

Minorii de ordinul 1 și minorii de ordin maxim

Cei mai simpli minori sunt minorii de ordinul 1. Aceștia coincid cu elementele matricei, deoarece determinantul unei matrice de ordinul 1 este egal cu singurul său element.

De exemplu, pentru matricea $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$, minorii de ordinul 1 sunt $1$, $2$, $3$ și $4$, adică toate elementele matricei.

La celălalt capăt se află minorii de ordin maxim. Dacă $A$ este o matrice pătrată de ordin $n$, atunci există un singur minor de ordin $n$, și anume determinantul matricei $A$.

Pentru matricea $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$, minorul de ordinul 2 este ${\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$, acesta este singurul minor de ordin maxim al matricei.

În cazul unei matrici dreptunghiulare $A\in M_{m,n}(K)$, ordinul maxim al unui minor este $\min(m,n)$. Minorii de acest ordin sunt utili în teoria rangului, deoarece permit calcularea rangului matricei. De asemenea, existența unui minor nenul de ordin $\min(m,n)$ arată faptul că matricea are rang maxim posibil, adică rangul este egal cu numărul de linii sau coloane al laturii mai scurte.

De exemplu, pentru matricea $B={\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&3\end{pmatrix}}$, ordinul maxim al unui minor este $2$, deoarece $\min(2,3)=2$.

Minorul obținut din primele două coloane este ${\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=1$, care este nenul. Prin urmare, matricea $B$ are rangul $2$, adică rang maxim posibil pentru o matrice cu două linii.

Pentru o matrice de ordinul $3\times 3$, minorii de ordinul 2 sunt determinanții tuturor submatricilor de ordinul $2\times 2$. Aceștia se obțin prin alegerea a două linii și a două coloane din matricea inițială și calcularea determinantului submatricii corespunzătoare.

De exemplu, pentru matricea $A={\begin{pmatrix}1&2&0\\3&4&1\\0&1&2\end{pmatrix}}$, submatricea formată din primele două linii și primele două coloane este ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$, iar minorul corespunzător este ${\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$

Deoarece acest minor de ordinul 2 este nenul, rezultă că rangul matricei $A$ este cel puțin 2. În general, rangul unei matrice este egal cu ordinul celui mai mare minor nenul al acesteia.

Pentru o matrice pătrată de ordin $n\geq 4$, noțiunea de minor se definește în același mod. Un minor de ordinul $k$, unde $1\leq k\leq n$, este determinantul unei submatrici de ordinul $k\times k$, obținute prin alegerea a $k$ linii și a $k$ coloane din matricea inițială.

De exemplu, fie matricea $A={\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&1&3&2\\2&0&1&1\\1&1&0&2\end{pmatrix}}$.

Alegând primele trei linii și primele trei coloane, se obține submatricea ${\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{pmatrix}}$ al cărei determinant este ${\begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{vmatrix}}=1\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\0&1\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}0&3\\2&1\end{vmatrix}}+0\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}}$

$=1\cdot (1\cdot 1-3\cdot 0)-2\cdot (0\cdot 1-3\cdot 2)+0$

$=1-2\cdot (-6)=13.$

Prin urmare, matricea $A$ are un minor de ordinul 3 nenul. Rezultă că rangul său este cel puțin 3. Pentru a stabili dacă rangul este 3 sau 4, trebuie examinați și minorii de ordinul 4, adică determinantul întregii matrice.

Legătura cu submatricile

Fiecare minor este asociat unei submatrici pătrate a unei matrice. Mai precis, un minor se obține calculând determinantul unei submatrici formate prin alegerea aceluiași număr de linii și de coloane din matricea inițială.

Este important să se distingă noțiunea de submatrice de cea de minor. Submatricea este matricea obținută prin selectarea anumitor linii și coloane, în timp ce minorul este determinantul acestei submatrici. Prin urmare, definiția minorului se aplică numai submatricilor pătrate, deoarece determinantul este definit exclusiv pentru matrici pătrate.

De exemplu, dintr-o matrice de ordin $4\times 5$ se poate extrage o submatrice de ordin $2\times 3$. Aceasta nu este o matrice pătrată și, prin urmare, nu are determinant. În schimb, o submatrice de ordin $2\times 2$ extrasă din aceeași matrice are determinant, care reprezintă un minor de ordinul 2.

De exemplu, fie matricea $A={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\\16&17&18&19&20\end{pmatrix}}$.

Din aceasta se poate extrage submatricea ${\begin{pmatrix}2&3&5\\12&13&15\end{pmatrix}}$, obținută din primele două linii și coloanele a doua, a treia și a cincea. Aceasta este o matrice de ordin $2\times 3$, deci nu este pătrată și nu are determinant.

În schimb, alegând primele două linii și primele două coloane, se obține submatricea ${\begin{pmatrix}1&2\\6&7\end{pmatrix}}$, al cărei determinant este ${\begin{vmatrix}1&2\\6&7\end{vmatrix}}=1\cdot 7-2\cdot 6=-5$

În concluzie, $-5$ este un minor de ordinul 2 al matricei $A$.

Dacă dintr-o matrice se aleg $k$ linii și $k$ coloane, atunci submatricea obținută este o matrice pătrată de ordin $k$, iar determinantul său este un minor de ordinul $k$. Liniile și coloanele care nu au fost selectate formează o submatrice complementară, utilizată în definirea minorilor complementari și a cofactorilor.

Legătura cu determinanții

Determinantul unei matrice pătrate poate fi privit ca un caz particular al noțiunii de minor. Mai precis, dacă o matrice are ordinul $n$, atunci determinantul său este singurul minor de ordinul $n$. Din acest punct de vedere, proprietățile determinantului se regăsesc și la nivelul minorilor.

Minorii au un rol fundamental în dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană. Pentru fiecare element al unei matrice pătrate se asociază un minor complementar, obținut prin eliminarea liniei și coloanei pe care se află elementul respectiv. Minorii complementari sunt utilizați la definirea cofactorilor și în formula de dezvoltare Laplace a determinantului.

De exemplu, fie matricea $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\1&0&6\end{pmatrix}}$.

Pentru elementul $a_{11}=1$, se elimină prima linie și prima coloană, obținându-se submatricea ${\begin{pmatrix}4&5\\0&6\end{pmatrix}}$.

Determinantul acesteia este ${\begin{vmatrix}4&5\\0&6\end{vmatrix}}=4\cdot 6-5\cdot 0=24$

Prin urmare, minorul complementar asociat elementului $a_{11}$ este egal cu $24$. Deoarece poziția $(1,1)$ are semnul $(-1)^{1+1}=1$, cofactorul corespunzător este tot $24$.

Dezvoltând determinantul matricei după prima linie, se obține

$\det(A)=1\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\0&6\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}0&5\\1&6\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}0&4\\1&0\end{vmatrix}}.$

Calculând determinantii de ordinul 2:

$\det(A)=1\cdot 24-2\cdot (0\cdot 6-5\cdot 1)+3\cdot (0\cdot 0-4\cdot 1)$,

rezultă

$\det(A)=24-2\cdot (-5)+3\cdot (-4)=24+10-12=22$.

Legătura cu rangul unei matrice

Există o legătură directă între rangul unei matrice și minorii acesteia. Pentru o matrice nenulă $A$, rangul este egal cu ordinul celui mai mare minor nenul al acesteia. Cu alte cuvinte, dacă există un minor nenul de ordin $r$, iar toți minorii de ordin mai mare decât $r$ sunt nuli, atunci $\operatorname {rang} (A)=r$.

La fel, o matrice are rangul $r$ dacă posedă cel puțin un minor nenul de ordin $r$, iar toți minorii de ordin $r+1$ sunt nuli.

În cazul unei matrice pătrate de ordin $n$, determinantul este un minor de ordin $n$. Prin urmare, matricea are rangul $n$ dacă și numai dacă determinantul său este nenul.

De exemplu, pentru matricea $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$, se obține $\det(A)={\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$

Deoarece determinantul este nenul, există un minor nenul de ordinul 2. Cum matricea are ordinul 2, rezultă că $\operatorname {rang} (A)=2$.

Pentru o matrice dreptunghiulară, rangul poate fi determinat examinând minorii de diferite ordine. Considerăm matricea $B={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}}$

Minorul de ordinul 2 format din cele două linii și primele două coloane este ${\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 2=0$

În același mod:

${\begin{vmatrix}1&3\\2&6\end{vmatrix}}=1\cdot 6-3\cdot 2=0$

și

${\begin{vmatrix}2&3\\4&6\end{vmatrix}}=2\cdot 6-3\cdot 4=0$

Toți minorii de ordinul 2 sunt nuli. În schimb, există minori de ordinul 1 nenuli, de exemplu ${\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}}=1$. Rezultă că cel mai mare ordin al unui minor nenul este 1, astfel încât $\operatorname {rang} (B)=1$.

Minorii principali și importanța lor și legătură cu sistemele de ecuații liniare

Un minor principal este un minor obținut dintr-o submatrice formată din aceleași linii și coloane ale unei matrice. Cu alte cuvinte, dacă indicii liniilor și ai coloanelor selectate coincid, atunci minorul rezultat este un minor principal.

Minorii principali apar în numeroase probleme de algebră liniară, fiind utilizați în studiul rangului, al sistemelor de ecuații liniare și al unor proprietăți ale matricilor. În cauză, dacă o matrice are rangul $r$, un minor principal nenul de ordin $r$ poate fi folosit pentru identificarea unui sistem de linii și coloane independente, care servește drept bază pentru analiza matricei și a sistemelor asociate.

În calculul sistemelor de ecuații liniare se utilizează și noțiunea de minor caracteristic. Acesta se obține prin bordarea unui minor principal de ordin $r$ cu coloana termenilor liberi și cu o linie care nu participă la formarea minorului respectiv. Minorii caracteristici sunt utilizați pentru verificarea compatibilității sistemelor de ecuații liniare. Aceste noțiuni sunt strâns legate de Teorema Kronecker-Capelli, conform căreia un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse. În cazul minorilor, această condiție poate fi aplicată prin anularea tuturor minorilor caracteristici construiți pornind de la un minor principal nenul de ordin egal cu rangul matricei coeficienților.

De exemplu, considerăm sistemul ${\begin{cases}x+y=2,\\2x+2y=4,\\x-y=0\end{cases}}$

Matricea coeficienților este $A={\begin{pmatrix}1&1\\2&2\\1&-1\end{pmatrix}}$, iar matricea extinsă este ${\bar {A}}=\left({\begin{array}{cc|c}1&1&2\\2&2&4\\1&-1&0\end{array}}\right)$.

Minorul principal de ordinul 1 format din elementul $a_{11}=1$ este $M={\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}}=1\neq 0$.

Bordând acest minor cu a doua linie și cu coloana termenilor liberi, se obține minorul caracteristic:

${\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 2=0$

Bordând același minor cu a treia linie și cu coloana termenilor liberi, se obține:

${\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}}=1\cdot 0-2\cdot 1=-2$

Acest minor caracteristic este nenul. Prin urmare, rangul matricei extinse este mai mare decât rangul determinat de minorul principal ales, ceea ce indică faptul că minorul principal de ordinul 1 nu poate fi rangul sistemului.

Examinând minorii de ordinul 2 ai matricei coeficienților, se obține:

${\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}}=1\cdot (-1)-1\cdot 1=-2\neq 0$

Rezultă că $\operatorname {rang} (A)=2$.

În plus, deoarece matricea extinsă are același rang, $\operatorname {rang} ({\bar {A}})=2$, iar condiția din Teorema Kronecker-Capelli este îndeplinită. Sistemul este compatibil și are soluția unică:

$x=1,\qquad y=1$

Bibliografie

• Howard Anton, Chris Rorres, Elementary Linear Algebra, 12th Edition, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2019.
• David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 5th Edition, Pearson, Boston, 2016.
• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th Edition, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, MA, 2016.
• David Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, 5th Edition, Cengage Learning, Boston, 2015.
• Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence, Linear Algebra, 5th Edition, Pearson, Boston, 2018.
• Serge Lang, Linear Algebra, 3rd Edition, Springer-Verlag, New York, 1987.

Vezi și

• Determinant
• Matrice
• Rangul unei matrici
• Sistem de ecuații liniare