Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Spațiile și , [modificare | modificare sursă]

Fie o mulțime deschisă din și un corp. Notăm cu tribul borelian al părților boreliene din , iar este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din la , atunci prin definiție este . Vom considera pe spațiul norma

care induce metrica și față de care este un spațiu complet. Prin vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în , care sunt p-sumabile pe orice compact din . Elementele din le vom numi funcții local p-sumabile. Rezultă imediat că este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor. devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme , unde K parcurge compactele din și

Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune cu compacte a lui , sistemul de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe . De aici rezultă că este metrizabil. Dacă și este un compact oarecare în , din relația

rezultă că pentru orice .
Punem în evidență organizarea lui ca algebră Banach.


TEOREMA 1. Fie . Atunci pentru orice , funcția este în . Convoluția definită prin:

este de asemenea o funcție din și în plus

Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire, devine o algebră Banach.
Demonstrație. Pentru funcția măsurabilă pozitivă , integrala iterată

este evident egală cu . Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular este sumabilă ca funcție de , integrala sa este măsurabilă ca funcție de și are integrala finită. Rezultă că este absolut sumabilă și

ceea ce înseamnă Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor

În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare. Penultima egalitate s-a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară: Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integralei (1) prin raport cu , cât și prin raport cu Cu aceasta devine algebră Banach.
TEOREMA 2. Fie și Atunci este definită printr-o integrală de tipul (1) pentru aproape orice , și

Demonstrație. Pentru rezultatul este conținut în teorema precedentă.
Fie deci și ca de obicei conjugatul lui . Din inegalitatea lui Hölder avem:

de unde, cum cu teorema precendentă deducem că este definită și finită pentru orice și de asemenea rezultă că

Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem

de unde cu obținem (5).
Cu TEOREMA 2 semnalăm că aplicațiile și sunt liniare și continue de la respectiv la . În acest fel cu convoluția ca operație externă, se organizează ca modul Banach peste algebra Banach

Note[modificare | modificare sursă]

D. GAȘPAR, P. GAȘPAR, Analiză funcțională, Ed.de Vest, Timișoara, 2009

Legături externe[modificare | modificare sursă]