Relație de echivalență

O relație de echivalență este o relație binară $\equiv$$\equiv$ pe o mulțime A, relație ce îndeplinește următoarele proprietăți:

1. reflexivitate: $\forall x\in A\,,\ x\equiv x$$\forall x\in A\,,\ x\equiv x$
2. simetrie: $\forall x,y\in A\,,\ x\equiv y\Rightarrow y\equiv x$$\forall x,y\in A\,,\ x\equiv y\Rightarrow y\equiv x$
3. tranzitivitate: $\forall x,y,z\in A\,,\ x\equiv y\land y\equiv z\Rightarrow x\equiv z$$\forall x,y,z\in A\,,\ x\equiv y\land y\equiv z\Rightarrow x\equiv z$

O relație de echivalență partiționează mulțimea A pe care este definită în clase de echivalență. Clasele de echivalență constituie o familie de submulțimi nevide disjuncte două câte două a căror reuniune este mulțimea A și cu proprietatea că două elemente din A sunt în aceeași clasă dacă și numai dacă sunt în relație de echivalență unul cu celălalt. Familia claselor de echivalență se numește mulțimea cât a mulțimii inițiale în raport cu relația de echivalență considerată și se notează $A|_{\equiv }$$A|_{\equiv }$.

Exemple

1. Congruența modulo n este o relație de echivalență definită pe mulțimea numerelor întregi $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ astfel:$x\equiv y$$x\equiv y$ dacă $x-y$$x-y$ este divizibil cu n. Mulțimea cât este:

$\mathbb {Z} |_{\equiv }=\{\{\ldots ,-n,0,n,2n,\ldots \},\{\ldots ,-n+1,1,n+1,2n+1,\ldots \},\ldots ,\{\ldots ,-1,n-1,2n-1,3n-1,\ldots \}\}$$\mathbb {Z} |_{\equiv }=\{\{\ldots ,-n,0,n,2n,\ldots \},\{\ldots ,-n+1,1,n+1,2n+1,\ldots \},\ldots ,\{\ldots ,-1,n-1,2n-1,3n-1,\ldots \}\}$

Pentru acest exemplu, clasele de echivalență se notează în mod obișnuit ${\hat {0}},\,{\hat {1}},\ldots ,{\widehat {n-1}}$${\hat {0}},\,{\hat {1}},\ldots ,{\widehat {n-1}}$

2. Relația $\rho$$\rho$ definită pe mulțimea numerelor complexe $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$ prin $z_{1}\;\rho \;z_{2}\;\Leftrightarrow \;|z_{1}|=|z_{2}|,$$z_{1}\;\rho \;z_{2}\;\Leftrightarrow \;|z_{1}|=|z_{2}|,$ pentru orice $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} ,$$z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} ,$ este o relație de echivalență.

Dacă $z=x+iy\in \mathbb {C} ,$$z=x+iy\in \mathbb {C} ,$ atunci clasa de echivalență corespunzătoare este un cerc cu centrul în origine și care trece prin punctul de coordonate $x,y.$$x,y.$

Vezi și

• Produs cartezian