Relație de echivalență

O relație de echivalență este o relație binară $\equiv$ pe o mulțime A, relație ce îndeplinește următoarele proprietăți:

1. reflexivitate: $\forall x\in A\,,\ x\equiv x$
2. simetrie: $\forall x,y\in A\,,\ x\equiv y\Rightarrow y \equiv x$
3. tranzitivitate: $\forall x,y,z\in A\,,\ x\equiv y\land y\equiv z\Rightarrow x\equiv z$

O relație de echivalență partiționează mulțimea A pe care este definită în clase de echivalență. Clasele de echivalență constituie o familie de submulțimi nevide disjuncte două câte două a căror reuniune este mulțimea A și cu proprietatea că două elemente din A sunt în aceeași clasă dacă și numai dacă sunt în relație de echivalență unul cu celălalt. Familia claselor de echivalență se numește mulțimea cât a mulțimii inițiale în raport cu relația de echivalență considerată și se notează $A|_\equiv$.

De exemplu, congruența modulo n este o relație de echivalență definită pe mulțimea numerelor întregi $\mathbb{Z}$ astfel:$x\equiv y$ dacă $x-y$ este divizibil cu n. Mulțimea cât este:

$\mathbb{Z}|_\equiv=\{\{\ldots,-n,0,n,2n,\ldots\},\{\ldots,-n+1,1,n+1,2n+1,\ldots\},\ldots,\{\ldots,-1,n-1,2n-1,3n-1,\ldots\}\}$

Pentru acest exemplu, clasele de echivalență se notează în mod obișnuit $\hat{0},\,\hat{1},\ldots,\widehat{n-1}$

Vezi și

• Produs cartezian