Relație de echivalență

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

O relație de echivalență este o relație binară \equiv pe o mulțime A, relație ce îndeplinește următoarele proprietăți:

  1. reflexivitate: \forall x\in A\,,\ x\equiv x
  2. simetrie: \forall x,y\in A\,,\ x\equiv y\Rightarrow y \equiv x
  3. tranzitivitate: \forall x,y,z\in A\,,\ x\equiv y\land y\equiv z\Rightarrow x\equiv z

O relație de echivalență partiționează mulțimea A pe care este definită în clase de echivalență. Clasele de echivalență constituie o familie de submulțimi nevide disjuncte două câte două a căror reuniune este mulțimea A și cu proprietatea că două elemente din A sunt în aceeași clasă dacă și numai dacă sunt în relație de echivalență unul cu celălalt. Familia claselor de echivalență se numește mulțimea cât a mulțimii inițiale în raport cu relația de echivalență considerată și se notează A|_\equiv.

Exemple[modificare | modificare sursă]

1. Congruența modulo n este o relație de echivalență definită pe mulțimea numerelor întregi \mathbb{Z} astfel:x\equiv y dacă x-y este divizibil cu n. Mulțimea cât este:

\mathbb{Z}|_\equiv=\{\{\ldots,-n,0,n,2n,\ldots\},\{\ldots,-n+1,1,n+1,2n+1,\ldots\},\ldots,\{\ldots,-1,n-1,2n-1,3n-1,\ldots\}\}

Pentru acest exemplu, clasele de echivalență se notează în mod obișnuit \hat{0},\,\hat{1},\ldots,\widehat{n-1}

2. Relația  \rho definită pe mulțimea numerelor complexe  \mathbb C prin  z_1 \; \rho\; z_2 \; \Leftrightarrow \; |z_1| = |z_2| , pentru orice  z_1, z_2 \in \mathbb C, este o relație de echivalență.

Dacă  z=x+ iy \in \mathbb C, atunci clasa de echivalență corespunzătoare este un cerc cu centrul în origine și care trece prin punctul de coordonate  x,y.

Vezi și[modificare | modificare sursă]