Funcție

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pentru alte sensuri, vedeți Funcție (dezambiguizare).
Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul și codomeniul

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.

Definiție formală[modificare | modificare sursă]

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian : G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

  1. Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea (x, y) se află în F.
  2. Pentru oricare două perechi (x1 , y1) și (x1, y2) din F, y1 = y2.

Funcțiile pot fi definite astfel:

  • Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
  • Prin formulă : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

Imaginea funcției[modificare | modificare sursă]

Imaginea unei funcții este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile . Se notează Im sau .

Im sau
Im

Graficul funcției[modificare | modificare sursă]

Graficul funcției Gf=

Compunerea funcțiilor[modificare | modificare sursă]

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Injectivitate[modificare | modificare sursă]

Injecție
Surjecție
Bijecție

O funcție f:A→B se numește injectivă sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. Definiții:

  1. atunci f(x)≠f(y) sau
  2. dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.

Un exemplu este funcția .

Deoarece pentru x≠y avem x3 ≠ y3, înseamnă că funcția f este injectivă.

Surjectivitate[modificare | modificare sursă]

O funcție f:A→B se numește surjectivă sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, , atunci astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la Ox printr-un punct de pe Oy intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este , f(x)=|x|, atunci astfel încât f(y)=f(-y)=y

Bijectivitate[modificare | modificare sursă]

O funcție f:A→B se numește bijectivă sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă , unic astfel încât f(x)=y. ă

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox printr-un punct de pe Oy intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este , f(x)=x+3, atunci astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

Inversa unei funcții[modificare | modificare sursă]

O funcție se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția astfel încât . Atunci se numește „inversa” funcției și se notează . Funcția este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

  • Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.
  • Graficele funcțiilor și sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu ecuația .

Paritatea funcției[modificare | modificare sursă]

Funcția pară f(x)=x2
Funcția impară f(x)=x3

O funcție cu valori reale, unde , se numește „pară” dacă . Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

O funcție cu valori reale se numește „impară” dacă

  1. sau
  2. .

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
  • Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
  • Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
  • Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
  • Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
  • Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
  • Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Monotonie[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]