Funcție

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pentru alte sensuri, vedeți Funcție (dezambiguizare).
Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul \{ 1, 2, 3, 4 \} și codomeniul  \{ a, b, c, d \}

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.

Definiție formală[modificare | modificare sursă]

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian : G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

  1. Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea ( x, y ) se află în F.
  2. Pentru oricare două perechi ( x1 , y1 ) și ( x1, y2 ) din F avem y1 = y2.

Funcțiile pot fi definite astfel:

  • Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
  • Prin formulă : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

Imaginea funcției[modificare | modificare sursă]

Imaginea unei funcții f:A \to B este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile f(x), \forall x \in A. Se notează Imf sau f(A).

Imf= \big\{ f(x)| x \in A \big\} sau
Imf= \big\{ y \in B| \exists x \in A, f(x)=y \big\}

Graficul funcției[modificare | modificare sursă]

Graficul funcției f:A \to B Gf= \big\{ (x,f(x)) | x \in A \big\}

Compunerea funcțiilor[modificare | modificare sursă]

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Injectivitate[modificare | modificare sursă]

Injecție
Surjecție
Bijecție

O funcție f:A→B se numește injectivă sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. Definiții:

  1. \forall x,y \in A, x \ne y atunci f(x)≠f(y) sau
  2. \forall x,y \in A, x \ne y dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.

Un astfel de exemplu este f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x)=x^2. \forall x,y \in \mathbb{N} x≠y presupune x2 ≠ y2, ceea ce înseamnă că f este injectivă.

Surjectivitate[modificare | modificare sursă]

O funcție f:A→B se numește surjectivă sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, \forall y \in B, atunci \exists x \in A astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la Ox printr-un punct y \in B de pe Oy intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N}, f(x)=|x|, atunci \forall y \in \mathbb{N}  y, -y \in \mathbb{Z} astfel încât f(y)=f(-y)=y

Bijectivitate[modificare | modificare sursă]

O funcție f:A→B se numește bijectivă sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă \forall y \in B, \exists x \in A unic astfel încât f(x)=y. ă

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox printr-un punct y \in B de pe Oy intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x)=x+3, atunci \forall y \in \mathbb{Z}  \exists x \in \mathbb{Z} astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

Inversa unei funcții[modificare | modificare sursă]

O funcție f:A \to B se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția g:B \to A astfel încât f \circ g = g \circ f = \mathbf{1}_A. Atunci g:B \to A se numește „inversa” funcției f și se notează f^{-1}. Funcția f este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

Paritatea funcției[modificare | modificare sursă]

Funcția pară f(x)=x2
Funcția impară f(x)=x3

O funcție cu valori reale, f:A \to B unde B \subseteq \mathbb{R}, se numește „pară” dacă \forall x \in A, f(x)=f(-x). Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

O funcție f:A \to B cu valori reale se numește „impară” dacă

  1. \forall x \in A, f(x)=-f(-x) sau
  2. \forall x \in A, f(x)+f(-x)=0.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
  • Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
  • Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
  • Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
  • Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
  • Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
  • Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Monotonie[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]