Șir Cauchy

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, o secvență sau un șir Cauchy este o secvență în care elementele componente se apropie pe măsură ce aceasta avansează într-o direcție, pe axa numerelor reale. Cu alte cuvinte, pentru orice număr pozitiv dat, se poate renunța la termenii de la începutul șirului, astfel încât, orice diferență între oricare doi termeni consecutivi, dintre cei rămași, să fie mai mică decât numărul ales.

Utilitatea în contextul analizei matematice[modificare | modificare sursă]

Utilitatea acestor șiruri rezidă din faptul că un spațiu metric complet are la bază existența acestor șiruri care converg către o limită. Convergența șirurilor este o proprietate foarte folosită în domeniile proceselor iterative, a căror algoritmi de rezolvare necesită o limitare în timp. De aceea, în foarte multe domenii ale fizicii matematice se lucrează în termeni de topologie, prin adoptarea foarte frecvent a spațiilor metrice complete.

Șiruri Cauchy în spații metrice[modificare | modificare sursă]

Într-un spațiu metric, un șir fundamental, numit și șir Cauchy este un șir x_1,x_2,x_3,\ldots de elemente , având proprietatea că, pentru orice \varepsilon>0, există un rang N_\varepsilon\in\mathbb{N} astfel încât \forall m,n\in\mathbb{N} cu m\geq N_\varepsilon și n\geq N_\varepsilon, are loc d(x_m, x_n)<\varepsilon, unde d este funcția distanță.

Un șir convergent este întotdeauna șir Cauchy. Spațiile metrice complete sunt, prin definiție, acele spații metrice în care este adevărată și reciproca (orice șir Cauchy este convergent).

Exemple de șiruri Cauchy[modificare | modificare sursă]

1. Cel mai întâlnit exemplu de șir Cauchy este modul de construcție a unui număr real, prin utilizarea secvențelor de numere raționale. Dacă avem un număr, să zicem cifra 0 și o secvență Cauchy care stă la baza acestui număr(să zicem șirul 1/n), atunci avem o secvență de numere raționale, iar completitudinea spatiului este realizată. Conform proprietății în care, un spațiu metric complet admite numai șiruri Cauchy, atunci orice secvență de numere raționale este un șir Cauchy în domeniul real. În schimb dacă secvența de numere raționale se consideră doar în domeniul numerelor raționale, există posibilitatea ca nu orice secvență să fie Cauchy, tocmai datorită faptului că mulțimea numerelor raționale nu este un spațiu metric complet.

Șirurile Cauchy sunt una din metodele de construcție a mulțimii numerelor reale din mulțimea numerelor raționale. De aici numele lor de șiruri fundamentale.

2. Un alt exemplu îl constituie șirul cu termenul general:

 x_n = 1+ \frac {1}{1!} + \frac {1}{2!} + \cdots + \frac {1}{n!}.

În acest caz:

 x_{n+p} - x_{n} < \frac {1}{n!} \left [  \frac {1}{n+1} + \frac {1}{(n+1)^2} + \cdots + \frac {1}{(n+1)^p} \right ] < \frac {1}{n!} \cdot \frac 1n \le \frac 1n < \varepsilon ,

pentru    n> N(\varepsilon) = \left [ \frac {1}{\varepsilon} \right ].

Se poate demonstra că limita acestui șir este numărul e.

Contraexemplu[modificare | modificare sursă]

Se poate demonstra că șirul:

 x_n = 1+ \frac 12 + \frac 13 + \cdots \frac 1n, \; n \in \mathbb N^*

este divergent.

Pentru aceasta este suficient să se arate că există un  \varepsilon_0 >0 și un  p \in \mathbb N^* astfel încât   |x_{n+p}-x_n| \ge \varepsilon_0.

Într-adevăr, pentru  p=n,

 |x_{2n} - x_n| = \frac {1}{n+1} + \frac {1}{n+2} + \cdots + \frac {1}{2n} \ge \frac 12 = \varepsilon_0.

Cazul șirurilor de funcții[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie  (f_n)_n un șir de funcții,  f_n:[a,b] \to \mathbb R. Se spune că șirul  (f_n)_n  este punctual convergent pe  [a,b] către f pentru  n \to \infty și se scrie  f_n \overset {PC}{\longrightarrow} f dacă  f_n(x_0) \to f(x_0) (în  \mathbb R ) pentru  \forall x \in [a, b].

Definiție. Un șir ( f_n)_n de funcții  f_n:[a,b] \to \mathbb R. se numește uniform convergent pe  [a, b] către o funcție  f:[a,b] \to \mathbb R. și se scrie  f_n \overset {UC}{\longrightarrow} f   dacă este îndeplinită următoarea condiție:

 \forall \varepsilon >0 \; \exists N(\varepsilon) natural astfel încât  \forall n \ge N(\varepsilon) să existe relația  |f_n(x) - f(x)|< \varepsilon, pentru  \forall x \in [a, b].

Teoremă (Criteriul fundamental de convergență uniformă al lui Cauchy) Șirul de funcții  (f_n)_{n \ge 1} converge uniform pe mulțimea  A \; \Leftrightarrow \; \forall \varepsilon >0, \; \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb N^* astfel încât  \forall n \in \mathbb N, \; n \ge n_{\varepsilon} , \; \forall p \in \mathbb N, \; | f_{n+p}(x) - f_n (x) |< \varepsilon, \; \forall x \in A.