Matrice pătrată

O matrice pătrată de ordin 4. Elementele $a_{ii}$ formează diagonala principală a matricei. De exemplu, diagonala principală a matricei 4×4 de mai sus conține elementele a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

În matematică, o matrice pătrată este o matrice care are același număr de linii și coloane. O matrice de dimensiune n×n este numită matrice pătrată de ordin $n$. Oricare două matrici pătrate de același ordin pot fi adunate și înmulțite.

Matricile pătratice sunt utilizate frecvent pentru a reprezenta transformări liniare simple, precum forfecarea sau rotația. De exemplu, dacă $R$ este o matrice pătrată ce reprezintă o rotație (matrice de rotație) și $\mathbf {v}$ este un vector coloană care descrie poziția unui punct în spațiu, produsul $R\mathbf {v}$ produce un alt vector coloană ce descrie poziția punctului după rotație. Dacă $\mathbf {v}$ este un vector linie, aceeași transformare poate fi obținută folosind $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$, unde $R^{\mathsf {T}}$ este transpusa lui $R$.

Diagonala principală

Articol principal: Diagonală principală

Elementele $a_{ii}$ (i = 1, ..., n) formează diagonala principală a unei matrice pătratice. Ele se află pe linia imaginară care merge din colțul stânga-sus spre colțul dreapta-jos al matricei. De exemplu, diagonala principală a matricei 4×4 de mai sus conține elementele a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Diagonala unei matrici pătratice care merge din colțul dreapta-sus spre colțul stânga-jos se numește antidiagonală sau diagonală secundară.

Tipuri speciale

Nume	Exemplu pentru n = 3
Matrice diagonală	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matrice triunghiulară inferioară	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matrice triunghiulară superioară	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

Matrice diagonală sau triunghiulară

Dacă toate elementele din afara diagonalei principale sunt zero, atunci $A$ se numește matrice diagonală. Dacă toate elementele de sub (respectiv deasupra) diagonalei principale sunt zero, atunci $A$ se numește matrice triunghiulară superioară (respectiv matrice triunghiulară inferioară).

Matrice identitate

Matricea identitate $I_{n}$ de dimensiune $n$ este matricea $n\times n$ în care toate elementele de pe diagonala principală sunt egale cu 1, iar toate celelalte elemente sunt egale cu 0:

$$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \ldots \quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$$

Este o matrice pătrată de ordin $n$ și un caz particular de matrice diagonală.

Termenul „matrice identitate” provine din proprietatea înmulțirii matriciale:

$$I_{m}A=AI_{n}=A$$

pentru orice matrice $m\times n$.

Matrice inversabilă și inversa sa

O matrice pătrată $A$ se numește inversabilă sau nesingulară dacă există o matrice $B$ astfel încât:

$$AB=BA=I_{n}$$

Dacă $B$ există, atunci este unică și se numește inversa lui $A$, notată $A^{-1}$.

Matrice simetrică sau antisimetrică

O matrice pătrată $A$ egală cu transpusa sa, adică:

$$A^{\mathsf {T}}=A$$

se numește matrice simetrică.

Dacă:

$$A^{\mathsf {T}}=-A$$

atunci $A$ se numește matrice antisimetrică.

Pentru matrici complexe, analogul transposei este transpusa conjugată $A^{*}$. O matrice complexă care satisface:

$$A^{*}=A$$

se numește matrice Hermitiană.

Dacă:

$$A^{*}=-A$$

atunci matricea este matrice anti-Hermitiană.

Conform teoremei spectrale, matricile reale simetrice și matricile Hermitiene complexe au o bază ortogonală (sau unitară) de vectori proprii, iar toate valorile proprii sunt reale.

Matrice definită

O matrice simetrică $n\times n$ se numește pozitiv definită dacă pentru orice vector nenul $x\in \mathbb {R} ^{n}$, forma pătratică:

$$Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x}$$

ia numai valori pozitive.

În mod analog se definesc matricile negativ definite, pozitiv semidefinite și indefinite.

O matrice simetrică este pozitiv definită dacă și numai dacă toate valorile sale proprii sunt pozitive.

Matrice ortogonală

O matrice ortogonală este o matrice pătrată reală ale cărei linii și coloane sunt ortogonale și de normă 1.

Echivalent:

$$A^{\mathsf {T}}=A^{-1}$$

de unde rezultă:

$$A^{\mathsf {T}}A=AA^{\mathsf {T}}=I$$

Determinantul oricărei matrice ortogonale este fie +1, fie −1.

Analogul complex al unei matrici ortogonale este matricea unitară.

Matrice normală

O matrice pătrată reală sau complexă $A$ se numește matrice normală dacă:

$$A^{*}A=AA^{*}$$

Matricile simetrice, antisimetice, ortogonale, Hermitiene și unitare sunt toate matrici normale.

Operații

Urma

Urma unei matrici pătratice $A$, notată $\operatorname {tr} (A)$, este suma elementelor de pe diagonala principală.

Deși înmulțirea matricilor nu este comutativă, urma produsului a două matrici nu depinde de ordinea factorilor:

$$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$$

De asemenea:

$$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathsf {T}})$$

Determinant

Articol principal: Determinant (matematică)

O transformare liniară pe $\mathbb {R} ^{2}$ dată de matricea indicată. Determinantul acestei matrici este −1.

Determinantul unei matrici pătratice $A$, notat $\det(A)$ sau $|A|$, este un număr care codifică anumite proprietăți ale matricei.

O matrice este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este diferit de zero.

Pentru matricile 2×2:

$$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc$$

Determinantul produsului a două matrici este egal cu produsul determinantelor:

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$

Valori proprii și vectori proprii

Articol principal: Vectori și valori proprii

Un număr $\lambda$ și un vector nenul $\mathbf {v}$ care satisfac relația:

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$$

se numesc valoare proprie și respectiv vector propriu ai matricei $A$.

Numărul $\lambda$ este valoare proprie a matricei $A$ dacă și numai dacă:

$$\det(A-\lambda I)=0$$

Polinomul:

$$p_{A}(X)=\det(XI_{n}-A)$$

se numește polinom caracteristic al matricei $A$.

Conform teoremei Cayley–Hamilton, orice matrice satisface propriul său polinom caracteristic:

$$p_{A}(A)=0$$

Vezi și

• Matrice Cartan
• Teorema Cayley-Hamilton

Referințe

• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5 

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 

• Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7 

Legături externe

• Materiale media legate de matrice pătrată la Wikimedia Commons