Spațiu funcțional

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În matematică, un spațiu funcțional este o mulțime de funcții cu același domeniu și codomeniu fixe. Adesea, domeniul și/sau codomeniul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, funcțiile definite pe orice mulțime X cu valori într-un spațiu vectorial au o structură naturală de spațiu vectorial, dată de adunarea pe puncte⁠(d) și de înmulțirea cu un scalar. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică, prin urmare, de unde denumirea de spațiu funcțional.

În algebra liniară[modificare | modificare sursă]

Adunarea funcțiilor: Suma funcției sinus cu exponențiala este cu

Fie V un spatiu vectorial peste un corp F și fie X o mulțime. Funcțiile definite pe X cu valori în V pot primi structura de spațiu vectorial peste F unde operațiile sunt definite pe puncte, adică pentru orice f,g: X → V , orice x din X și orice c din F, se definește

Atunci când domeniul X are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb submulțimea (sau subspațiul⁠(d)) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă X este și spațiu vectorial peste F, mulțimea aplicațiilor liniare X → V formează un spațiu vectorial peste F cu operații pe puncte (adesea notate Hom⁠(d)(X, V)). Un astfel de spațiu este spațiul dual⁠(d) al lui V: mulțimea formelor lineare⁠(d) V → F cu adunarea și înmulțirea cu scalar definite pe puncte.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:

Analiza funcțională[modificare | modificare sursă]

Analiza funcțională⁠(d) este organizată în jurul tehnicilor adecvate pentru a aduce spațiile de funcții ca spații vectoriale topologice⁠(d) la îndemâna ideilor care se vor aplica spațiilor normate de dimensiune finită.

Normă[modificare | modificare sursă]

Dacă y este un element al spațiului funcțional al tuturor funcțiile continue care sunt definite pe un interval închis [a, b], norma definită pe este valoarea absolută maximă a lui y (x) pentru axb , [2]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Kolmogorov, AN, și Fomin, SV (1967). Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale. Curierul Dover Publicații.
  • Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Analiza funcțională: o introducere în alte subiecte în analiză. Princeton University Press.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Fulton, William; Harris, Joe (). Representation Theory: A First Course (în engleză). Springer Science & Business Media. p. 4. ISBN 9780387974958. 
  2. ^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (). Silverman, Richard A., ed. Calculus of variations (ed. Unabridged repr.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485.