Teorema lui Pitagora

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pythagorean.svg

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plană (euclidiană). Teorema lui Pitagora afirmă că "în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei". Dacă se notează cu a și cu b lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic iar cu c lungimea ipotenuzei acestuia, atunci teorema lui Pitagora afirmă că:

a^2 + b^2 = c^2\!\,

Reciproca este adevărată: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât a2 + b2 = c2 , există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a și b va fi drept.

Scurt istoric[modificare | modificare sursă]

Deși teorema i se atribuie astăzi filozofului și matematicianului grec antic Pitagora, care a trăit în secolul al VI-lea î.Hr., se știe că a fost cunoscută de mai multe civilizații de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-babilonienii, egiptenii antici, chinezii antici și alții.[1]

Acest subiect poate fi împărțit în trei: cunoașterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoașterea teoremei propriu-zise și cunoașterea unor demonstrații.

Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghi drept în condiții practice: o sfoară este marcată cu noduri aflate la anumite distanțe; formând din ea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 și 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosită de exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.

Monumente megalitice de acum 6000 de ani (în Egipt) sau 4500 de ani (în Insulele Britanice) conțin triunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere întregi[2], dar aceasta nu înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoșteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean și din Mesopotamia menționează triplete pitagoreice.

Sulba Sutra lui Baudhayana, scrisă în secolul 8 î.e.n. în India, conține o listă de triplete pitagoreice descoperite algebric, un enunț al teoremei, precum și o demonstrație pentru un triunghi dreptunghic isoscel.

Sulba Sutra lui Apastamba (circa 600 î.e.n.) conține o demonstrație numerică a cazului general, calculând arii. Unii cercetători susțin că de aici s-ar fi putut inspira Pitagora, în timpul călătoriei sale în India.

Pitagora (aproximativ 569 - 475 î.e.n.) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice, conform lui Proclus. Acesta a scris însă între anii 410 și 485 e.n., adică 9 secole mai târziu. După Sir Thomas L. Heath, teorema nu i-a fost atribuită lui Pitagora timp de cinci secole după perioada în care acesta a trăit. Totuși, atunci când autori cum ar fi Plutarh și Cicero au vorbit despre teoremă ca fiind „a lui Pitagora”, au făcut-o ca și cum acesta era un lucru binecunoscut și de necontestat.

În jurul anului 400 î.e.n., conform lui Proclus, Platon a dat o metodă de a determina triplete pitagoreice care combina algebra și geometria.Există o infinitate de astfel de triplete,forma lor generală fiind x=2uv,y=u2-v2, z=u2+v2,unde u și v sunt numere naturale oarecare,cu u>v. După aproximativ 100 de ani, Euclid a dat în cadrul lucrării Elemente prima demonstrație axiomatică a teoremei.

Scris între 500 î.e.n. și 200 e.n., textul chinezesc Chou Pei Suan Ching (周髀算经) conține o demonstrație vizuală a teoremei.

De fapt, nu numai că nu se poate ști cine a descoperit teorema, dar cercetătorii nu se pot pune de acord nici în privința întrebării dacă a fost descoperită o singură dată, ori independent în istorie de către mai multe civilizații.

Teorema este valabilă doar în geometria euclidiană, de aceea orice demonstrație foloseste (uneori indirect sau mai puțin vizibil) axioma lui Euclid.

Demonstrații[modificare | modificare sursă]

Demonstrația cu triunghiuri asemenea[modificare | modificare sursă]

demonstrația cu triunghiuri asemenea

Folosește de două ori Teorema lui Euclid : pătratul unei catete este egal cu aria dreptunghiului având ca laturi proiecția aceste catete pe ipotenuză și ipotenuza însăși.

Fie H piciorul perpendicularei coborâte din C pe ipotenuza AB.

Din asemănarea triunghiurilor ΔAHC ~ ΔACB rezultă b2 = m.c

Din asemănarea triunghiurilor ΔBHC ~ ΔBCA rezultă a2 = n.c

Prin însumarea celor două egalități de mai sus, se obține a2+ b2= m.c + n.c = (m+n).c = c2 Q.E.D.

Demonstrația prin cuadratură[modificare | modificare sursă]

Pythagorean proof.png

Suprafețele ambelor pătrate mari sunt egale cu (a + b)^2\,. Dacă suprefețele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor a\, și b\, (figura din stânga) sunt substituite cu un pătrat ce reprezintă numărul c\, la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a jumătăților celor două dreptunghiuri (fiecare fiind format inițial din câte două triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel inițial), se obține figura din dreapta. Suprafețele celor două pătrate mari sunt identice, întrucât laturile acestora sunt congruente.

Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține:

S = a^2 + b^2 + 4 \frac{ab}{2} (pentru pătratul din stânga)
S = c^2 + 4 \frac{ab}{2} (pentru pătratul din dreapta)

Se ajunge așadar la c^2 + 2ab = a^2 + b^2 + 2ab \,, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată.

Generalizări[modificare | modificare sursă]

Pentru trei dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Dacă ABCDA'B'C'D' este un paralelipiped dreptunghic, cu AB = l (lățimea), BC = L (lungimea) și AA' = h (înălțimea), atunci lungimea diagonalei sale mari, AC' = d, se poate determina prin formula d^2=l^2+L^2+h^2.

Pentru triunghiuri oarecare[modificare | modificare sursă]

Teorema lui Pitagora generalizată, numită și Teorema (sau Legea) cosinusului, este valabilă în orice triunghi (euclidian) și poate fi exprimată astfel:

a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,

unde θ este unghiul dintre laturile a\, și b\,.

Pentru spațiu-timp[modificare | modificare sursă]

\ \Delta s^{2} =(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2} - c^{2}(\Delta t)^2

Formule corespunzătoare în geometriile sferică și hiperbolică[modificare | modificare sursă]

Triunghi dreptunghic în γ
Triunghi în geometria hiperbolică
 \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right).
 \cosh c=\cosh a\,\cosh b

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Mică Enciclopedie de Matematică, traducere după KLEINE ENZIKLOPADIE DER MATHEMATIK sixth edition, VEB Bibliographic Institute Leipzig, 1971,cu completări din MATHEMATICS AT A GLANCE, 1975.
  • Anton Dumitriu, Istoria Logicii, vol. 1, Editura Tehnică, București 1993