Număr întreg

Numerele întregi sunt o mulțime compusă din numerele naturale {1, 2, 3, 4,...;}, împreună cu negativele acestora {−1, −2, −3, −4, ...} și cu numărul zero. Mulțimea numerelor întregi se notează de obicei cu Z (Z îngroșat) sau $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$, care provine de la cuvântul german Zahlen, „numere”.

Ordonare

Mulțimea numerelor întregi este total ordonată într-o succesiune (șir): ... < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 ... În acest șir este vorba de numere pozitive {1, 2, 3, ...}, numere nenegative {0, 1, 2, 3, ... }, numere negative {... -3, -2, -1}, numere nepozitive {... -3, -2, -1, 0}. Ordonarea numerelor întregi într-o succesiune face posibilă compararea lor, unul cu celălalt, două câte două.

Utilitate

Numerele întregi se întâlnesc în practică peste tot, de exemplu la exprimarea temperaturilor (3 K; -12 °C), măsurarea altitudinii față de nivelul mării (2.544 m; -312 m = 312 m sub nivelul mării) și multe altele.

Plus (+) și minus (-)

Dacă numărul este precedat de simbolul „+” se spune că numărul întreg este pozitiv, iar dacă este precedat de simbolul „-“ se spune că numărul întreg este negativ. De obicei semnul „+” din fața numerelor întregi pozitive se poate omite la scris. Simbolurile „+” și „-” se mai numesc și semne (aritmetice).

Valoarea absolută a unui număr întreg; opusul unui număr întreg

Valoarea absolută a unui număr întreg,numită și modul, reprezintă distanța de la origine până la poziția acestuia pe axa numerelor. Modulul numǎrului $x$$x$ se notează $|x|$$|x|$ și este definit astfel:

$|x|={\begin{cases}x&{\mbox{, }}x\geq 0,\\-x&{\mbox{, }}x<0.\end{cases}}$$|x|={\begin{cases}x&{\mbox{, }}x\geq 0,\\-x&{\mbox{, }}x<0.\end{cases}}$

Exemple: |-1|=1, |-1000000|=1000000, |3|=3.

Două numere întregi diferite care au același modul se numesc numere „opuse”. Exemple: -7 și 7; 3 și -3; -1 și 1.

Valoarea absolută sau modulul unui număr pozitiv este numărul însuși, iar valoarea absolută a unui număr negativ este opusul lui. Dintre două numere întregi, pe axa numerelor, întotdeauna cel mai mic se află la stânga.

Operații cu numere întregi

Din punct de vedere algebric, mulțimea numerelor întregi este un inel comutativ față de adunare (operația principală) și înmulțire (operația secundară). Inelul numerelor întregi prezintă aplicații deosebite în teoria numerelor.