Hipercub

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Reprezentări în perspectivă
Hexahedron.svg Hypercube.svg
3-cub (cub) 4-cub (tesseract)

În geometrie, un hipercub este corespondentul într-un spațiu n-dimensional al pătratului din spațiul bidimensional (n = 2), respectiv al cubului din din spațiul tridimensional (n = 3). Sunt politopuri regulate, închise, compacte, convexe, al căror schelet⁠(d) este format din segmente de aceeași lungime, paralele, opuse, aliniate cu direcțiile dimesniunilor, și perpendiculare unele pe altele. Lungimea celor mai lungi diagonale ale unui hipercub în n dimensiuni este .

Un hipercub n-dimensional este numit adesea n-cub sau, uneori, cub n-dimensional. Termenul politop de măsură (engleză measure polytope) (folosit inițial de Elte în 1912)[1] este de asemenea întâlnit, în special în lucrările lui H. S. M. Coxeter, care notează hipercuburile cu γn.[2]

Hipercubul este un caz particular al hiperdreptunghiului⁠(d) (care este numit și „n-ortotop”).

Hipercubul unitar este un hipercub ale cărui laturi au lungimea de o unitate. Hipercubul care are cele 2n vârfuri din Rn cu fiecare coordonată egală cu 0 sau 1 este numit „hipercubul unitate”.

Construcția[modificare | modificare sursă]

Schema generării unui 4-cub dintr-un punct
Animație cu generarea unui 4-cub dintr-un punct
Proiecția unui 4-cub (tesseract) în rotație

Un hipercub poate fi definit prin creșterea numărului de dimensiuni:

0 – Un punct este un hipercub în zero dimensiuni.
1 – Deplasând punctul cu o unitate de lungime de-a lungul unei dimensiuni se va obține un segment, care este un hipercub cu o dimensiune.
2 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului, cu o unitate de lungime, se va obține un pătrat, care este un hipercub în două dimensiuni.
3 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe planul pătratului, cu o unitate de lungime, se va obține un cub, care este un hipercub în trei dimensiuni.
4 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe celelalte trei dimensiuni, cu o unitate de lungime, se va obține un 4-cub, care este un hipercub în patru dimensiuni (numit și tesseract).

Procedeul se poate generaliza pentru orice număr de dimensiuni. Acest proces de parcurgere a volumelor poate fi formalizat matematic ca o sumă Minkowski⁠(d): hipercubul d-dimensional este suma Minkowski a d segmente mutual perpendiculare, prin urmare este un exemplu de zonotop.

1-scheletul⁠(d) hipercubului este graful hipercubului⁠(d).

Coordonate[modificare | modificare sursă]

Hipercubul unitar în n dimensiuni este anvelopa convexă a punctelor date de toate permutările semnelor coordonatelor carteziene . El are laturile de lungime 1 și un volum n-dimensional de 1.

Un hipercub n-dimensional este adesea privit ca anvelopa convexă a tuturor permutărilor semnelor coordonatelor . Această formă este des folosită datorită ușurinței scrierii coordonatelor. În acest caz lungimea laturilor este 2, iar volumul său n-dimensional este 2n.

Elemente[modificare | modificare sursă]

Orice n-cub pentru n > 0 este format din elemente, sau n-cuburi de dimensiune inferioară, plasate pe suprafețele (n−1)-dimensionale ale hipercubului de proveniență. Fețele sale sunt hipercuburi (n−1)-dimensionale. Un hipercub n-dimensional are 2n laturi: o linie unidimensională are 2 puncte de capăt; un pătrat bidimensional are 4 laturi; un cub tridimensional are ube has 6 laturi (fețe) bidimensionale, un 4-cub (tesseract) are 8 laturi (celule) tridimensionale. Numărul de vârfuri ale unui hipercub este (de exemplu cubul are vârfuri (colțuri)).

Numărul de hipercuburi m-dimensionale (în continuare se va folosi această expresie pentru hipercuburi de dimensiuni inferioare) pe frontierele unui n-cub este

,[3]     unde       unde n! este factorial de n.

De exemplu, pe frontierele unui 4-cub (n = 4) există 8 cuburi (tip 3-cub), 24 de pătrate (2-cub), 32 de segmente (1-cub) și 16 vârfuri (0-cub).

Această relație poate fi demonstrată pe cale combinatorică: fiecare dintre vârfuri definește un capăt pe frontierele m-dimensionale. Există moduri în care se pot alege linile ("laturile") care definesc subspațiul definit de aceste laturi. Dar, deoarece fiecare latură apare de ori în vârfuri, numărul vârfurilor se obține prin împărțirea totalului cu acest număr.

Această relație se poate folosi pentru a obține formula pentru suprafața hipercubului n-dimensional. Această suprafață este: .

Aceste valori pot fi obținute cu relația liniară recursivă

,       cu   și elementele încă nedefinite (unde , , sau ) .

De exemplu, prin extensia pătratului, în fiecare din cele 4 colțuri ale sale apare câte un segment, din care se vor forma pătratele care vor mărgini cubul, obținând-se în total = 12 segmente (muchiile cubului).

Elementele hipercuburilor (secvența OEIS A038207)[4])
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n n-cub Denumiri alternative Simbol
Schläfli
Coxeter
Vârf
0-fețe
Latură
1-fețe
Fețe
2-fețe
Celulă
3-fețe

4-fețe

5-fețe

6-fețe

7-fețe

8-fețe

9-fețe

10-fețe
0 0-cub Punct
Monon
( )
CDel node.png
1
1 1-cub Segment
Dion[5]
{}
CDel node 1.png
2 1
2 2-cub Pătrat
Tetragon
{4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 4 1
3 3-cub Cub
Hexahedru
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 12 6 1
4 4-cub Tesseract
Octocor
{4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16 32 24 8 1
5 5-cub Penteract
Deca-5-top
{4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
32 80 80 40 10 1
6 6-cub Hexeract
Dodeca-6-top
{4,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
64 192 240 160 60 12 1
7 7-cub Hepteract
Tetradeca-7-top
{4,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
128 448 672 560 280 84 14 1
8 8-cub Octeract
Hexadeca-8-top
{4,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9 9-cub Enneract
Octodeca-9-top
{4,3,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1
10 10-cub Dekeract
Icosa-10-top
{4,3,3,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

Grafuri[modificare | modificare sursă]

Un n-cub poate fi proiectat într-un poligon regulat cu 2n laturi (poligon Petrie). Tabelul următor prezintă exemple de la segment până la 15-cub.

Proiecția ortogonlă⁠(d) a poligoanelor Petrie
1-simplex t0.svg
Segment
2-cube.svg
Pătrat
3-cube graph.svg
Cub
4-cube graph.svg
4-cub
5-cube graph.svg
5-cub
6-cube graph.svg
6-cub
7-cube graph.svg
7-cub
8-cube.svg
8-cub
9-cube.svg
9-cub
10-cube.svg
10-cub
11-cube.svg
11-cub
12-cube.svg
12-cub
13-cube.svg
13-cub
14-cube.svg
14-cub
15-cube.svg
15-cub

Familii conexe de politopuri[modificare | modificare sursă]

Hipercuburile aparțin uneia dintre puținele familii de politopuri regulate care sunt reprezentate în orice număr de dimensiuni.

Familia de hipercuburi este una dintre cele trei familii de politopuri regulate, notate de Coxeter cu γn. Celelalte două sunt familia pereche a hipercubului, ortoplecșii, notați cu βn, și simplexurile, notate cu αn. A patra familie, fagurii hipercubici a fost notată de el cu δn.

O altă familie înrudită de politopuri uniforme⁠(d) semiregulate sunt semihipercuburile⁠(d), care sunt construite din hipercuburi prin ștergerea alternantă de vârfuri și adăugarea în goluri a simplexurilor, forme notate cu n.

n-cuburile pot fi combinate cu perechile lor (ortoplecșii) pentru a forma politopuri compuse:

Relația cu (n−1)-simplexurile[modificare | modificare sursă]

Graful laturilor unui n-hipercub este izomorf cu diagrama Hasse⁠(d) a laticei fețelor (n−1)-simplexului. Acest fapt poate fi observat orientând diagrama n-hipercubului astfel încât două noduri să fie aliniate vertical, nodul de sus corespunzând (n–1)-simplexului însuși, iar cel de jos politopului nul. Fiecare nod conectat la nodul de sus marchează într-un mod unic o față (față n–2) a (n–1)-simplexului, fiecare nod conectat la aceste noduri machează o față n–3 a simplexului, și tot așa, iar nodurile conectate nodului de jos marchează vârfurile simplexului.

Metoda poate fi folosită pentru a obține în mod eficient laticea fețelor unui (n–1)-simplex, deoarece algoritmii de enumerare a laticei fețelor aplicabili la politopuri în general necesită capacități de calcul mai mari.

Hipercuburi generalizate[modificare | modificare sursă]

Politopurile complexe⁠(d) regulate pot fi definite în spațiul complex Hilbert drept hipercuburi generalizate, γp
n
= p{4}2{3}...2{3}2, sau CDel pnode 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png..CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Există soluții reale pentru p = 2, de exemplu γ2
n
 = γn = 2{4}2{3} ...  2{3}2 = {4, 3, … , 3}. Pentru p > 2, ele există în . Fețele sunt (n–1)-cuburi generalizate, iar vârfurile sunt simplexuri regulate.

Perimetrele poligoanelor regulate din proiecțiile ortogonale ale acestora sunt poligoane Petrie. Pătratele generalizate (n = 2) sunt trasate cu p-laturi în culori alternante, roșu și albastru, iar n-cuburile sunt trasate cu linii negre.

Numărul elementelor de tip m-față ale n-cubului p-generalizat este: . Există pn vârfuri și pn fețe.[6]

Hipercuburi generalizate
p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8
2-generalized-2-cube.svg
γ2
2
= {4} = CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 vârfuri
3-generalized-2-cube skew.svg
γ3
2
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
9 vârfuri
4-generalized-2-cube.svg
γ4
2
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
16 vârfuri
5-generalized-2-cube skew.svg
γ5
2
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
25 vârfuri
6-generalized-2-cube.svg
γ6
2
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
36 vârfuri
7-generalized-2-cube skew.svg
γ7
2
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
49 vârfuri
8-generalized-2-cube.svg
γ8
2
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
64 vârfuri
2-generalized-3-cube.svg
γ2
3
= {4,3} = CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 vârfuri
3-generalized-3-cube.svg
γ3
3
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
27 vârfuri
4-generalized-3-cube.svg
γ4
3
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
64 vârfuri
5-generalized-3-cube.svg
γ5
3
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
125 vârfuri
6-generalized-3-cube.svg
γ6
3
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
216 vârfuri
7-generalized-3-cube.svg
γ7
3
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
343 vârfuri
8-generalized-3-cube.svg
γ8
3
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
512 vârfuri
2-generalized-4-cube.svg
γ2
4
= {4,3,3}
= CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16 vârfuri
3-generalized-4-cube.svg
γ3
4
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
81 vârfuri
4-generalized-4-cube.svg
γ4
4
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
256 vârfuri
5-generalized-4-cube.svg
γ5
4
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
625 vârfuri
6-generalized-4-cube.svg
γ6
4
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1296 vârfuri
7-generalized-4-cube.svg
γ7
4
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2401 vârfuri
8-generalized-4-cube.svg
γ8
4
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4096 vârfuri
2-generalized-5-cube.svg
γ2
5
= {4,3,3,3}
= CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
32 vârfuri
3-generalized-5-cube.svg
γ3
5
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
243 vârfuri
4-generalized-5-cube.svg
γ4
5
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1024 vârfuri
5-generalized-5-cube.svg
γ5
5
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3125 vârfuri
6-generalized-5-cube.svg
γ6
5
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7776 vârfuri
γ7
5
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16,807 vârfuri
γ8
5
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
32,768 vârfuri
2-generalized-6-cube.svg
γ2
6
= {4,3,3,3,3}
= CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
64 vârfuri
3-generalized-6-cube.svg
γ3
6
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
729 vârfuri
4-generalized-6-cube.svg
γ4
6
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4096 vârfuri
5-generalized-6-cube.svg
γ5
6
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
15,625 vârfuri
γ6
6
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
46,656 vârfuri
γ7
6
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
117,649 vârfuri
γ8
6
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
262,144 vârfuri
2-generalized-7-cube.svg
γ2
7
= {4,3,3,3,3,3}
= CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
128 vârfuri
3-generalized-7-cube.svg
γ3
7
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2187 vârfuri
γ4
7
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16,384 vârfuri
γ5
7
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
78,125 vârfuri
γ6
7
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
279,936 vârfuri
γ7
7
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
823,543 vârfuri
γ8
7
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2,097,152 vârfuri
2-generalized-8-cube.svg
γ2
8
= {4,3,3,3,3,3,3}
= CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
256 vârfuri
3-generalized-8-cube.svg
γ3
8
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6561 vârfuri
γ4
8
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
65,536 vârfuri
γ5
8
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
390,625 vârfuri
γ6
8
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1,679,616 vârfuri
γ7
8
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5,764,801 vârfuri
γ8
8
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16,777,216 vârfuri

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Elte, E. L. (). „IV, Five dimensional semiregular polytope”. The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Netherlands: University of Groningen. ISBN 141817968X. 
  2. ^ Coxeter, Regular…, pp. 122–123 (Fig 7.2)
  3. ^ Coxeter 1973, p. 122, §7·25.
  4. ^ Șirul A038207 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  5. ^ en Johnson, Norman W.; Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p.224.
  6. ^ en Coxeter, H. S. M. (), Regular complex polytopes, London & New York: Cambridge University Press, p. 180, MR 0370328 .

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Lectură suplimentară[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Commons-logo.svg Materiale media legate de hipercub la Wikimedia Commons