Triunghi dreptunghic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Un triunghi dreptunghic: latura c este ipotenuza, iar laturile a şi b sunt catetele.

În geometria plană, un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept (π/2 radiani sau 90°). Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare, iar celelalte două laturi se numesc catete (singular catetă).

Date generale[modificare | modificare sursă]

  • Suma celor două unghiuri ascuțite este egală cu 90°.
  • Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  • Orice triunghi dreptunghic se înscrie într-un cerc cu centrul la mijlocul ipotenuzei.

Teoremele înălțimii[modificare | modificare sursă]

Prima teoremă a înălțimii[modificare | modificare sursă]

Notații pentru teoremele enunțate.

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

 CD = \sqrt { AD \cdot BD }   sau
CD^2 = AD \cdot BD

unde CD este înălțimea corespunzatoare ipotenuzei, iar AD și BD sunt proeicțiile catetelor pe ipotenuză (v. figura alăturată).

A doua teoremă a înălțimii[modificare | modificare sursă]

Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor, adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu C=90° (v. figura alăturată), iar CD este perpendiculara pe AB. Există relația:

CD \cdot AB = AC \cdot BC

Teorema catetei[modificare | modificare sursă]

În triunghiul dreptunghic fiecare catetă este egală cu media geometrică dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC cu C=90° și CD perpendiculara pe AB (v. figurile de mai sus). Există relația:

BC^2=AB \cdot BD   sau
BC = \sqrt {AB \cdot BD}

Unghiuri[modificare | modificare sursă]

Teorema unghiului de 45°[modificare | modificare sursă]

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45° lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.

Teorema unghiului de 30°[modificare | modificare sursă]

Într-un triunghi dreptunghic ce are un unghi de 30°, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Teorema unghiului de 15°[modificare | modificare sursă]

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, lungimea înălțimii opuse unghiului de 15° este un sfert din lungimea ipotenuzei.

Formule de calcul ale ariei[modificare | modificare sursă]

  • Într-un triunghi dreptunghic aria este egală cu semiprodusul catetelor.

Teorema lui Pitagora[modificare | modificare sursă]

Ilustrarea teoremei lui Pitagora

Teorema lui Pitagora: „suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei”. Aceasta poate fi reprezentată în triunghiul dreptunghic ABC, AB fiind ipotenuza, iar C unghiul drept (v. notațiile din figurile de mai sus). Teorema lui Pitagora spune că:

 AB^2 = AC^2 + BC^2