| Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține. |
Un triunghi dreptunghic: latura
c este ipotenuza, iar laturile
a și
b sunt catetele.
În geometria plană, un triunghi dreptunghic este triunghiul care are un unghi drept (π/2 radiani sau 90°). Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare. Celelalte două laturi se numesc catete.
Date generale
- Suma celor două unghiuri ascuțite este egală cu 90°.
- Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
- Orice triunghi dreptunghic se înscrie într-un cerc cu centrul la mijlocul ipotenuzei.
- Orice triunghi dreptunghic are ortocentrul în vârful unghiului drept.
Teoremele înălțimii
Prima teoremă a înălțimii
Notații pentru teoremele enunțate.
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
sau

unde CD este înălțimea corespunzatoare ipotenuzei, iar AD și BD sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză (v. figura alăturată).
A doua teoremă a înălțimii
Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor,
adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu C=90° (v. figura alăturată), iar CD este perpendiculara pe AB. Există relația:

Teorema catetei
În triunghiul dreptunghic fiecare catetă este egală cu media geometrică dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.
Fie triunghiul ABC cu C=90° și CD perpendiculara pe AB (v. figurile de mai sus). Există relația:
sau

Unghiuri
Teorema unghiului de 45°
Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45° lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.
Teorema unghiului de 30°
Într-un triunghi dreptunghic ce are un unghi de 30°, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Teorema unghiului de 15°
Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, lungimea înălțimii opuse unghiului de 15° este un sfert din lungimea ipotenuzei.
Formule de calcul ale ariei
- Într-un triunghi dreptunghic aria este egală cu semiprodusul catetelor.
Teorema lui Pitagora
Ilustrarea teoremei lui Pitagora
Teorema lui Pitagora: „suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei”. Aceasta poate fi reprezentată în triunghiul dreptunghic ABC, AB fiind ipotenuza, iar C unghiul drept (v. notațiile din figurile de mai sus). Teorema lui Pitagora spune că:

Raporturi constante între elementele unui triunghi dreptunghic
Raporturile constante în triunghiul dreptunghic sunt: sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta. Acestea se mai numesc și funcții trigonometrice.
Sinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea ipotenuzei:

Cosinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei:

Tangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea catetei alăturate unghiului:

Cotangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea catetei opuse unghiului:

Fie X măsura unui unghi, iar (90°-X) măsura complementului său. Atunci au loc următoarele relații:




Valori ale funcțiilor trigonometrice pentru măsurile unghiurilor de 0°, 30°, 45°, 60° și 90°
|
 |
 |
 |
 |
|
sin |
 |
 |
 |
 |
|
cos |
 |
 |
 |
 |
|
tg |
 |
 |
 |
 |
-
|
ctg |
- |
 |
 |
 |
|
Relații






Formule trigonometrice




- Formula fundamentală a trigonometriei

Proprietățile afixelor vârfurilor
Fie
astfel încât
,unde
.Următoarele afirmații sunt echivalente:
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)Dacă notăm :
,atunci
,pentru orice
;
(e)
;
Bibliografie
- Nicolae Bourbăcuț. Triunghiul dreptunghic in planul complex. Gazeta Matematică-B,nr.12/2011.