Înălțime (geometrie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Ortocentrul se formează la intersecţia înălţimilor.
Înălțimea unei piramide este segmentul coborât din vîrf perpendicular pe planul bazei

Înălțimea unui triunghi reprezintă segmentul determinat de un vârf al triunghiului și piciorul perpendicularei din acel vârf pe dreapta ce conține latura opusă vârfului.

Proprietăți ale înălțimilor poligonale[modificare | modificare sursă]

Concurența înălțimilor unui triunghi[modificare | modificare sursă]

Cele trei înălțimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersecție, H, se numește ortocentru. Triunghiul având ca vârfuri picioarele înălțimilor se numește triunghi ortic.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și A”, B”, C” - picioarele perpendicularelor vârfurilor pe laturile opuse.
Alturas.png
Prin vârfurile triunghiului ABC ducem paralele la laturile opuse, care se intersectează în punctele A', B', C' ca în figura alăturată. Din construcție, ABCB' și BCAC' sunt paralelograme, deci . Pentru că și , rezultă că . Deci AA' este mediatoarea segmentului B'C'. Analog, BB” și CC” sunt mediatoarele segmentelor A'C' respectiv A'B'. Prin urmare, conform concurenței mediatoarelor unui triunghi, rezultă că și înălțimile triunghiului ABC sunt concurente. [1]

Punct interior unui triunghi[modificare | modificare sursă]

Dacă p1, p2 și p3 sunt distanțele de la orice punct interior P la laturi și h1, h2, and h3 înălțimile pe respectivele laturi, atunci [2] este valabilă egalitatea:

Poligoane[modificare | modificare sursă]

În poligoane înălțimea poate ajuta la determinarea ariei acestui poligon:

  • la triunghi: , a este latura pe care cade înălțimea;
  • la triunghiul dreptunghic: catetele sunt înălțimi, deci sau ;
  • la trapez: , b și B fiind cele două baze ale trapezului;
  • la paralelogram: , l este latura pe care cade înălțimea;

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Augustin Coța, Mariana Răduțiu, Marta Rado, Florica Vornicescu, Geometrie și trigonometrie, 1992, Ministerul Învățământului și Științei, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București, ISBN 973-30-1859-7
  2. ^ Johnson 2007, p. 74, Section 103c.