Funcție

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Funcție (matematică))
Jump to navigation Jump to search
Pentru alte sensuri, vedeți Funcție (dezambiguizare).
Pagina „F(x)” trimite aici. Pentru formația muzicală cu acest nume vedeți F(x) (formație).
Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul și codomeniul

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.

Definiție formală[modificare | modificare sursă]

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian : G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

  1. Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea (x, y) se află în F.
  2. Pentru oricare două perechi (x1 , y1) și (x1, y2) din F, y1 = y2.

Funcțiile pot fi definite astfel:

  • Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
  • Prin formulă : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

Imaginea funcției[modificare | modificare sursă]

Imaginea unei funcții este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile . Se notează Im sau .

Im sau
Im

Graficul funcției[modificare | modificare sursă]

Graficul funcției Gf=

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Injectivitate[modificare | modificare sursă]

Injecție
Surjecție
Bijecție

O funcție f:A→B se numește injectivă sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. Definiții:

  1. atunci f(x)≠f(y) sau
  2. dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.

Un exemplu este funcția .

Deoarece pentru x≠y avem x3 ≠ y3, înseamnă că funcția f este injectivă.

Surjectivitate[modificare | modificare sursă]

O funcție f:A→B se numește surjectivă sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, , atunci astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la Ox printr-un punct de pe Oy intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este , f(x)=|x|, atunci astfel încât f(y)=f(-y)=y

Bijectivitate[modificare | modificare sursă]

O funcție f:A→B se numește bijectivă sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă , unic astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox printr-un punct de pe Oy intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este , f(x)=x+3, atunci astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

Inversa unei funcții[modificare | modificare sursă]

O funcție se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția astfel încât . Atunci se numește „inversa” funcției și se notează . Funcția este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

  • Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.
  • Graficele funcțiilor și sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu ecuația .

Paritatea funcției[modificare | modificare sursă]

Funcția pară f(x)=x2
Funcția impară f(x)=x3

O funcție cu valori reale, unde , se numește „pară” dacă . Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

O funcție cu valori reale se numește „impară” dacă

  1. sau
  2. .

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
  • Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
  • Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
  • Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
  • Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
  • Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
  • Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Monotonie[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]