Poligon

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pentru alte sensuri, vedeți Poligon (dezambiguizare).

În geometria euclidiană, un poligon (gr.: polys = multe și gonos = unghi) este o figură geometrică plană, inchisă, formată dintr-un număr finit de segmente de linii drepte, numite laturi.

Linie poligonală[modificare | modificare sursă]

Definiție
Fiind date \ n puncte distincte M1,M2, M3,..., Mn  (n \in \mathbb{N}, n \ge 3), se numește linie poligonală o reuniune de segmente de forma [M1 M2] \cup [M2 M3] \cup ... \cup [Mn-1 Mn] care nu sunt unul în prelungirea celuilalt. Punctele M1,M2, M3,..., Mn se numesc vârfurile liniei poligonale, iar segmentele [M1 M2],...,[Mn-1 Mn] se numesc laturile liniei poligonale. Laturile [M1 M2] și [M2 M3] sau [M2 M3] și [M3 M4] sau, în general, [Mk-1 Mk] și [Mk Mk+1] se consideră că sunt „laturi vecine”, iar punctele M1 și Mn se numesc „capetele liniei poligonale”. Dacă cele două capete ale unei linii poligonale coincid, linia poligonală se numește închisă.
Definiție
Dacă într-o linie poligonală închisă numai laturile vecine au câte un punct comun și oricare două laturi nu sunt una în prelungirea celeilalte, atunci linia poligonală închisă se numește poligon. Vârfurile liniei poligonale închise care determină poligonul se numesc vârfurile poligonului, iar laturile liniei poligonale închise se numesc laturile poligonului. Unghiurile formate de laturi vecine se numesc unghiurile poligonului. Segmentele care au ca extremități două vârfuri ale poligonului, care nu sunt vecine, se numesc diagonalele poligonului. Suma lungimilor tuturor laturilor poligonului este perimetrul poligonului.
Definiție
Un poligon se numește poligon convex dacă, oricare ar fi o latură a sa, toate vârfurile nesituate pe latura considerată se află de aceeași parte a dreptei în care este inclusă latura respectivă.
Teoremă
Suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu \ n laturi este:  (n-2)\cdot 180^{\circ}.

Poligoane regulate[modificare | modificare sursă]

Definiție
Se numește poligon regulat un poligon convex cu toate laturile sale congruente și toate unghiurile sale congruente. Dacă, printr-un procedeu oarecare, am împărțit un cerc în \ n arce congruente  (n \ge 3) și ducem coardele care le subîntind pe fiecare dintre ele, atunci, unind punctele de diviziune succesive, obținem un poligon regulat. Laturile acestui poligon sunt congruente, deoarece subîntind arce de cerc de aceeași măsură:  \left(\frac{360}{n}\right)^{\circ}, iar unghiurile poligonului sunt deasemenea congruente, deoarece sunt unghiuri înscrise în cerc și cuprind între laturile lor arce de măsuri egale cu  \left[\frac{360}{n}\cdot (n-2)\right]^{\circ}.

Latura și apotema unui poligon regulat înscris în cerc[modificare | modificare sursă]

  • \ l_n=2R \sin \frac{180^{\circ}}{n}; \ a_n=R \cos \frac{180^{\circ}}{n}. (unde \ R este raza cercului circumscris poligonului și \ n numărul de laturi).

Prin apotemă înțelegem distanța de la centrul poligonului la fiecare dintre laturile lui.

  • \ l_3=R \sqrt{3}; \ a_3= \frac{R}{2}; \ a_3=\frac{l \sqrt{3}}{6};
  • \ l_4=R \sqrt{2}; \ a_4=\frac{R \sqrt{2}}{2};
  • \ l_6=R; \ a_6=\frac{R \sqrt{3}}{2};

Aria unui poligon regulat[modificare | modificare sursă]

  • \ A_n= \frac{l_n \cdot a_n}{2} \cdot n; \ A_n=\frac{P_n \cdot a_n}{2}; (semiprodusul dintre perimetrul și apotema poligonului).

\ A_n=n R^2 \sin \frac{180^{\circ}}{n} \cos \frac{180^{\circ}}{n}; (unde \ R este raza cercului circumscris poligonului și \ n numărul de laturi).

  • \ A_3=\frac{l^2 \sqrt{3}}{4}; \ A_3=\frac{3R^2 \sqrt{3}}{4}; \ A_4=2R^2; \ A_6=\frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}.

Poligoane stelate[modificare | modificare sursă]

Poligoanele stelate sunt acele poligoane în care laturile lor nu se intersectează doar în capete.

Denumirea poligoanelor în funcție de numărul laturilor[modificare | modificare sursă]

Numele poligoanelor
Nume Laturi
enagon 1
digon 2
triunghi[1] 3
patrulater[1] (tetragon[1]) 4
pentagon[1] 5
hexagon[1] 6
heptagon[1] 7
octogon[1] 8
eneagon[1] 9
decagon[1] 10
endecagon[1] 11
dodecagon[1] 12
tridecagon 13
tetradecagon 14
pentadecagon[1] 15
hexadecagon 16
heptadecagon 17
octodecagon 18
eneadecagon 19
icosagon 20
enicosagon 21
triacontagon 30
tetracontagon 40
pentacontagon 50
hexacontagon 60
heptacontagon 70
octocontagon 80
eneacontagon 90
hectogon 100
chiliagon 1000
miriagon 10 000
megagon 1 000 000

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ a b c d e f g h i j k l Dicționarul explicativ al limbii române, Academia Română, Institutul de Lingvistică "Iorgu Iordan", Editura Univers Enciclopedic, 1998

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Dan Brânzei, Anton Negrilă, Maria Negrilă. MATE 2000+9/10, Clasa 7, partea a II-a, Editura Paralela 45, 2009.
  • Dumitru Săvulescu, Marius Perianu. Matematica pentru clasa a VII-a, semestrul II, Editura Art, Colecția Clubul matematicienilor, 2010.