Tetraedru

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Tetraedru
Tetrahedron.png
(animație, model 3D)
Descriere
Tippoliedru platonic
Fețe4
Laturi (muchii)6
Vârfuri4
χ2
Configurația vârfului3.3.3
Simbol Wythoff3 | 2 3
| 2 2 2
Simbol Schläfli{3,3}
h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Simbol ConwayT
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
Grup de simetrieTd, A3, [3,3], (*332)
Grup de rotațieT, [3,3]+, (332)
Unghi diedru70.528779° = arccos(13)
Poliedru dualautodual
Proprietățiregulat, convex
Figura vârfului
Tetrahedron vertfig.png
Desfășurată
Tetrahedron flat.svg

Tetraedrul este un poliedru alcătuit din patru fețe triunghiulare, oricare trei dintre ele intersectându-se într-unul din cele patru vârfuri. Tetraedrul este cel mai simplu tip de piramidă, la care baza este un triunghi, de aceea mai este denumit și piramidă triunghiulară.

Un caz particular îl constituie tetraedrul regulat, la care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale și este unul din cele cinci tipuri de poliedre regulate.

Mărimi asociate tetraedrului regulat[modificare | modificare sursă]

În tabelul de mai jos a este latura tetraedrului regulat.

Aria bazei
Aria totală
Înălțimea
Volumul
Unghiul dintre o față și muchie
(aprox. 54.7356°)
Unghiul dintre două fețe
(aprox. 70.5288°)
Unghiul dintre segmentele care unesc centrul cu două vârfuri
(aprox. 109.4712°)
Unghiul solid sub care este văzută o față din vârful opus
(aprox. 0.55129 steradiani)

Inegalități într-un tetraedru[modificare | modificare sursă]

Fie    un tetraedru de volum V, unde    sunt lungimile muchiilor feței    iar    ale muchiilor    și R raza sferei circumscrise. Atunci există inegalitățile:

1)  

2)  

3)  

4)  

Demonstrație

1) Fie X centrul sferei. Dacă se presupune    atunci vectorii    sunt vectori unitari:

Presupunând că punctele    sunt fixate și C variabil cu    S este maximă când    este maxim ceea ce se obține în cazul:

Atunci:

de unde rezultă:

Dar    se atinge pentru    deci   

Utilizare în diagrame cuaternare[modificare | modificare sursă]

Un tetraedru cu laturi egale permite datorită egalității laturilor construirea diagramelor de fază cuaternare în care se pot reprezenta patru mărimi cu suma constantă.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Un tetraedru regulat poate fi văzut ca o piramidă triunghiulară.

Piramide regulate
Digonală Triunghiulară Pătrată Pentagonală Hexagonală Heptagonală Octogonală Eneagonală Decagonală...
Improprie Regulată Echilaterale Isoscele
Biangular pyramid1.png Tetrahedron.svg Square pyramid.png Pentagonal pyramid.png Hexagonal pyramid.png Heptagonal pyramid1.png Octagonal pyramid1.png Enneagonal pyramid1.png Decagonal pyramid1.png
Spherical digonal pyramid.png Spherical trigonal pyramid.png Spherical square pyramid.png Spherical pentagonal pyramid.png Spherical hexagonal pyramid.png Spherical heptagonal pyramid.png Spherical octagonal pyramid.png Spherical enneagonal pyramid.png Spherical decagonal pyramid.png

Un tetraedru regulat poate fi văzut ca un poliedru degenerat, o antiprismă uniformă, în care poligoanele de bază sunt digoane reduse.

Un tetraedru regulat poate fi văzut ca un poliedru degenerat, un trapezoedru dublu uniform, care conține 6 vârfuri, în două seturi de laturi coliniare.

Familia trapezoedrelor n-gonale
Nume trapezoedru Trapezoedru
digonal
(tetraedru)
Trapezoedru
trigonal
Trapezoedru
tetragonal
Trapezoedru
pentagonal
Trapezoedru
hexagonal
Trapezoedru
heptagonal
Trapezoedru
octogonal
Trapezoedru
decagonal
Trapezoedru
dodecagonal
... Trapezoedru
apeirogonal
Imagine Digonal trapezohedron.png TrigonalTrapezohedron.svg Tetragonal trapezohedron.png Pentagonal trapezohedron.svg Hexagonal trapezohedron.png Heptagonal trapezohedron.png Octagonal trapezohedron.png Decagonal trapezohedron.png Dodecagonal trapezohedron.png ...
Pavare
sferică
Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal trapezohedron.png Spherical tetragonal trapezohedron.png Spherical pentagonal trapezohedron.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical heptagonal trapezohedron.png Spherical octagonal trapezohedron.png Spherical decagonal trapezohedron.png Spherical dodecagonal trapezohedron.png Pavare
plană
Apeirogonal trapezohedron.svg
Configurația
feței
V2.3.3.3 V3.3.3.3 V4.3.3.3 V5.3.3.3 V6.3.3.3 V7.3.3.3 V8.3.3.3 V10.3.3.3 V12.3.3.3 ... V∞.3.3.3

Un proces de trunchiere aplicat tetraedrului produce o serie de poliedre uniforme. Trunchierea muchiilor până la puncte produce octaedrul ca un tetraedru rectificat. Procesul se finalizează ca o birectificare, reducând fețele originale la puncte și producând din nou tetraedrul. autodual.

Familia poliedrelor tetraedrice uniforme
Simetrie: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Un poliedru interesant poate fi construit din cinci tetraedre care se intersectează. Acest compus din cinci tetraedre este cunoscut de sute de ani. Apare în mod regulat în lumea origami. Unirea celor douăzeci de vârfuri ar forma un dodecaedru regulat. Există atât forme „pe stânga”, cât și „pe drepta”, care sunt imagini în oglindă una a celeilalte. Suprapunerea ambelor forme dă un compus de zece tetraedre, în care cele zece tetraedre sunt aranjate ca cinci perechi de octaedre stelate (stella octangula). O stella octangula este un compus din două tetraedre în poziție duală, iar cele opt vârfuri ale sale definesc un cub ca anvelopă convexă.

Hosoedrul pătrat sete alt poliedru cu patru fețe, care însă nu sunt triunghiulare.

Tetraedrul și poliedrul Szilassi sunt singurele două poliedre cunoscute în care fiecare față are câte o latură în comun cu fiecare din celelalte fețe.

Pavare sferică[modificare | modificare sursă]

Tetraedrul poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe un plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este o conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron stereographic projection.svg
Proiecție ortogonală Proiecție stereografică

Vezi și[modificare | modificare sursă]