Tetraedru

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Tetraedru
Tetrahedron.png
(animație)
Descriere
Tippoliedru platonic
Fețe4
Muchii6
Vârfuri4
χ2
Configurația vârfului3.3.3
Simbol Wythoff3 | 2 3
| 2 2 2
Simbol Schläfli{3,3}
h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Simbol ConwayT
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
Grup de simetrieTd, A3, [3,3], (*332)
Grup de rotațiiT, [3,3]+, (332)
Unghi diedru°70.528779° = arccos(13)
Poliedru dualautodual
Proprietățiregulat, convex
Figura vârfului
Tetrahedron vertfig.png
Desfășurată
Tetrahedron flat.svg

Tetraedrul este un poliedru alcătuit din patru fețe triunghiulare, oricare trei dintre ele intersectându-se într-unul din cele patru vârfuri. Tetraedrul este cel mai simplu tip de piramidă, la care baza este un triunghi, de aceea mai este denumit și piramidă triunghiulară.

Un caz particular îl constituie tetraedrul regulat, la care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale și este unul din cele cinci tipuri de poliedre regulate.

Mărimi asociate tetraedrului regulat[modificare | modificare sursă]

În tabelul de mai jos a este latura tetraedrului regulat.

Aria bazei
Aria totală
Înălțimea
Volumul
Unghiul dintre o față și muchie
(aprox. 54.7356°)
Unghiul dintre două fețe
(aprox. 70.5288°)
Unghiul dintre segmentele care unesc centrul cu două vârfuri
(aprox. 109.4712°)
Unghiul solid sub care este văzută o față din vârful opus
(aprox. 0.55129 steradiani)

Inegalități într-un tetraedru[modificare | modificare sursă]

Fie    un tetraedru de volum V, unde    sunt lungimile muchiilor feței    iar    ale muchiilor    și R raza sferei circumscrise. Atunci există inegalitățile:

1)  

2)  

3)  

4)  

Demonstrație

1) Fie X centrul sferei. Dacă se presupune    atunci vectorii    sunt vectori unitari:

Presupunând că punctele    sunt fixate și C variabil cu    S este maximă când    este maxim ceea ce se obține în cazul:

Atunci:

de unde rezultă:

Dar    se atinge pentru    deci   

Utilizare în diagrame cuaternare[modificare | modificare sursă]

Un tetraedru cu laturi egale permite datorită egalității laturilor construirea diagramelor de fază cuaternare în care se pot reprezenta patru mărimi cu suma constantă.

Vezi și[modificare | modificare sursă]