Tetraedru

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Tetraedru120px-Tetrahedron-slowturn.gif

Tetraedrul este un poliedru alcătuit din patru fețe triunghiulare, oricare trei dintre ele intersectându-se într-unul din cele patru vârfuri. Tetraedrul este cel mai simplu tip de piramidă, la care baza este triunghi, de aceea mai este denumit și piramidă triunghiulară.

Un caz particular îl constituie tetraedrul regulat, la care toate fețele sunt tringhiuri echilaterale și este unul din cele cinci tipuri de poliedre regulate.

Formule pentru tetraedrul regulat[modificare | modificare sursă]

Aria bazei
Aria totală
Înălțimea
Volumul
Unghiul dintre o față și muchie
(aprox. 54.7356°)
Unghiul dintre două fețe
(aprox. 70.5288°)
Unghiul dintre segmentele care unesc centrul cu două vârfuri
(aprox. 109.4712°)
Unghiul solid sub care este văzută o față din vârful opus
(aprox. 0.55129 steradiani)

În tabelul de mai sus a este latura tetraedrului regulat.

Inegalități într-un tetraedru[modificare | modificare sursă]

Fie    un tetraedru de volum V, unde    sunt lungimile muchiilor feței    iar    ale muchiilor    și R raza sferei circumscrise. Atunci:

1)  

2)  

3)  

4)  

Demonstrație.

1) Fie X centrul sferei. Dacă se presupune    atunci vectorii    sunt vectori unitari:

Presupunând că punctele    sunt fixate și C variabil cu    S este maximă când    este maxim ceea ce se obține în cazul:

Atunci:

de unde rezultă:

Dar    se atinge pentru    deci   

Vezi și[modificare | modificare sursă]