Teorema cosinusului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Teorema lui Pitagora generalizată)
Jump to navigation Jump to search

În geometria plană, teorema cosinusului, cunoscută și sub numele de teorema lui Pitagora generalizată stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui triunghi în funcție de celelalte două laturi ale sale și cosinusul unghiului dintre ele. A fost demonstrată de Al-Kashi.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.

Formula:

sau:

unde AB=c, AC=b și BC=a sunt laturile triunghiului ABC.

Demonstrație bazată pe teorema lui Pitagora[modificare | modificare sursă]

Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg

Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii , la fel ca în figura alăturată.[1]. Fără a restrânge generalitatea, se construiește și înălțimea opusă laturii . Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice. În triunghiul având ca ipotenuză latura , se aplică teorema lui Pitagora:

,

ceea ce este echivalent cu formula enunțată.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques, Édition Didier, 1980, ch 11-2, p 265