Geometrie hiperbolică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Drepte care trec printr-un punct dat P și care nu intersectează dreapta R.

În matematică, geometria hiperbolică (numită și geometria lobacevskiană sau geometria Bolyai-Lobacevski) este o geometrie neeuclidiană, adică axioma (postulatul) paralelelor din geometria euclidiană este înlocuită. Axioma paralelelor din geometria euclidiană este echivalentă cu faptul că, într-un spațiu bidimensional, pentru orice dreaptă d și orice punct P care nu aparține dreptei d, există o unică dreaptă care trece prin P și care nu intersectează dreapta d, adică este paralelă cu d. În geometria hiperbolică există cel puțin două drepte care trec prin P și nu se intersectează cu d, astfel încât această axiomă nu mai este valabilă. Diverse modele au fost construite cu ajutorul geometriei euclidiene, prin excluderea axiomelor din geometria hiperbolică, demonstrând astfel că axioma paralelelor este independentă de celelalte axiome ale lui Euclid.

O proprietate caracteristică geometriei hiperbolice atestă faptul că suma unghiurilor unui triunghi este mai mică decât măsura a două unghiuri drepte. În cazul în care vârfurile tind la infinit, există triunghiuri hiperbolice ideale, în care toate cele trei unghiuri au măsurile egale cu 0°.

Triunghiuri[modificare | modificare sursă]

În planul hiperbolic distanțele pot fi măsurate în termeni de o unitate de lungime , fiind analoagele razelor unor sfere din geometria sferică. Utilizând această unitate de lungime, există în geometria hiperbolică, o teoremă echivalentă cu teorema lui Pitagora. Dacă sunt două laturi ale unui triunghi dreptunghic, iar este ipotenuza sa atunci avem:

Funcția cosh este o funcție hiperbolică, echivalentă funcției standard cosinus. Toate cele trei funcții trigonometrice standard au echivalente hiperbolice. În trigonometrie, în relațiile ce conțin laturile și unghiurile unui triunghi hiperbolic, funcțiile hiperbolice sunt aplicate laturilor, iar funcțiile trigonometrice standard sunt aplicate unghiurilor. De exemplu, teorema sinusului într-un triunghi hiperbolic este:

Spre deosebire de triunghiurile euclidiene, în care suma tuturor unghiurilor este egală cu 180° sau radiani, în triunghiurile hiperbolice toate cele trei unghiuri însumează mai puțin de 180°. Această diferență se datorează deficitului. Aria unui triunghi hiperbolic este dată de deficitul său înmulțit cu , unde . Ca o consecință, toate triunghiurile hiperbolice au aria mai mică decât . La fel ca în geometria sferică singurele triunghiuri asemenea sunt triunghiurile congruente.

Cercuri și sfere[modificare | modificare sursă]

În geometria hiperbolică lungimea unui cerc de rază este mai mare decât . De fapt este egală cu

Aria discului închis este

Aria suprafeței unei sfere este

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
  • en Fenchel, Werner (). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co. 
  • en Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co., edited by Asmus L. Schmidt. 
  • en Nikolai Lobacevski, (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
  • en John Milnor, (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
  • en William Reynolds, (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
  • en Stillwell, John (). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697. 
  • en David Samuels, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
  • en James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
  • en James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.

Legături externe[modificare | modificare sursă]