Inegalitatea triunghiului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Inegalitatea triunghiului exprimă sub o formă matematică ideea că drumul drept este drumul cel mai scurt dintre două puncte.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Într-un triunghi ABC, suma laturilor AC și CB este totdeauna mai mare sau cel puțin egală cu lungimea celei de a treia laturi, AB. Situația de egalitate este valabilă doar în cazul special, când triunghiul ABC degenerează, încât laturile AC și CB devin segmente parțiale ale laturii a treia, AB.

Geometrie[modificare | modificare sursă]

Într-un plan euclidian, considerăm triunghiul ABC. Atunci lungimile AB, AC și CB verifică inegalitatea :

AB \leqslant AC + CB

Două proprietăți completează această inegalitate:

  • |AC - CB| \leqslant AB
  • AB = AC + CB \Leftrightarrow C \in [AB]

Numere complexe[modificare | modificare sursă]

Utilizând reprezentarea complexă a planului euclidian, notăm:

 x=\text{afixul lui }\overrightarrow{AC}
y=\text{afixul lui }\overrightarrow{CB}

Obținem această formulare echivalentă:

Pentru (x, y) \in \mathbb{C}^2, avem :

  • \Big| |x| - |y| \Big| \leqslant |x+y| \leqslant |x|+|y|
  • |x+y| = |x|+|y| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}_+^2-\{(0,0)\},\ \lambda x = \mu y

Considerente axiomatice[modificare | modificare sursă]

Fie mulțimea E și d : E\times E \rightarrow \mathbb{R}. Spunem că d este o distanță pe E dacă:

  • \forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=d(y,x)
  • \forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y
  • \forall (x,y,z)\in E^3,\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)