Inegalitatea triunghiului

Inegalitatea triunghiului exprimă sub o formă matematică ideea că drumul drept este drumul cel mai scurt dintre două puncte.

Enunț

Într-un triunghi ABC, suma laturilor AC și CB este totdeauna mai mare sau cel puțin egală cu lungimea celei de a treia laturi, AB. Situația de egalitate este valabilă doar în cazul special, când triunghiul ABC degenerează, încât laturile AC și CB devin segmente parțiale ale laturii a treia, AB.

Geometrie

Într-un plan euclidian, considerăm triunghiul ABC. Atunci lungimile AB, AC și CB verifică inegalitatea :

$AB \leqslant AC + CB$

Două proprietăți completează această inegalitate:

• $|AC - CB| \leqslant AB$
• $AB = AC + CB \Leftrightarrow C \in [AB]$

Numere complexe

Utilizând reprezentarea complexă a planului euclidian, notăm:

$x=\text{afixul lui }\overrightarrow{AC}$

$y=\text{afixul lui }\overrightarrow{CB}$

Obținem această formulare echivalentă:

Pentru $(x, y) \in \mathbb{C}^2$, avem :

• $\Big| |x| - |y| \Big| \leqslant |x+y| \leqslant |x|+|y|$
• $|x+y| = |x|+|y| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}_+^2-\{(0,0)\},\ \lambda x = \mu y$

Considerente axiomatice

Fie mulțimea E și $d : E\times E \rightarrow \mathbb{R}$. Spunem că d este o distanță pe E dacă:

• $\forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=d(y,x)$
• $\forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$
• $\forall (x,y,z)\in E^3,\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$