Inegalitatea triunghiului

Inegalitatea triunghiului exprimă sub o formă matematică ideea că drumul drept este drumul cel mai scurt dintre două puncte.

Enunț

Într-un triunghi ABC, suma laturilor AC și CB este totdeauna mai mare sau cel puțin egală cu lungimea celei de a treia laturi, AB. Situația de egalitate este valabilă doar în cazul special, când triunghiul ABC degenerează, încât laturile AC și CB devin segmente parțiale ale laturii a treia, AB.

Geometrie

Într-un plan euclidian, considerăm triunghiul ABC. Atunci lungimile AB, AC și CB verifică inegalitatea :

$AB\leqslant AC+CB$$AB\leqslant AC+CB$

Două proprietăți completează această inegalitate:

• $|AC-CB|\leqslant AB$$|AC-CB|\leqslant AB$
• $AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]$$AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]$

Numere complexe

Utilizând reprezentarea complexă a planului euclidian, notăm:

$x={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {AC}}$$x={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {AC}}$

$y={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {CB}}$$y={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {CB}}$

Obținem această formulare echivalentă:

Pentru $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$$(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$, avem :

• ${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leqslant |x+y|\leqslant |x|+|y|$${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leqslant |x+y|\leqslant |x|+|y|$
• $|x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}-\{(0,0)\},\ \lambda x=\mu y$$|x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}-\{(0,0)\},\ \lambda x=\mu y$

Considerente axiomatice

Fie mulțimea E și $d:E\times E\rightarrow \mathbb {R}$$d:E\times E\rightarrow \mathbb {R}$. Spunem că d este o distanță pe E dacă:

• $\forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=d(y,x)$$\forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=d(y,x)$
• $\forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$$\forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$
• $\forall (x,y,z)\in E^{3},\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$$\forall (x,y,z)\in E^{3},\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$